排序算法(2)——堆排序

[转载] 《算法导论》和 百度百科

1、堆的定义

(二叉)堆是一个数组，它可以被看成一个近似的完全二叉树。树上的每一个节点对应数组中的一个元素。除最底层（叶子层）外其它层都是满的。
规定树的根结点是A[1]，这样给定一个节点的下标i，我们可以 很容易计算它的父节点、左孩子、右孩子的下标。

    PARENT(i)=i/2;
    LEFT(i)=2*i;
    RIGHT(i)=2*i+1;

(二叉)堆可分为两种形式：最大堆和最小堆。
最大堆要满足如下性质：

    A[PARENT(i)]>=A[i]

即除了根节点以外的所有节点，其父节点的值要大于等于该节点的值。
最小堆是满足如下性质：

    A[PARENT(i)]<=A[i]

在从小到大的堆排序中，我们使用最大堆。

2、堆排序的思想

2.1、维护最大堆的性质

2.2、建堆

2.3、堆排序算法

3、堆排序的实现

#include <stdio.h>

//维护最大堆的性质
void HeapAdjust(int array[],int i,int nLength)
{
    int nChild;
    int nTemp;
    for(;2*i+1<nLength;i=nChild)
    {
        //子结点的位置=2*（父结点位置）+1
        nChild=2*i+1;
        //得到子结点中较大的结点
        if(nChild<nLength-1&&array[nChild+1]>array[nChild])++nChild;
        //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
        if(array[i]<array[nChild])
        {
            nTemp=array[i];
            array[i]=array[nChild];
            array[nChild]=nTemp; 
        }
        else break; //否则退出循环
    }
}
//堆排序算法
void HeapSort(int array[],int length)
{
    int i;
    //建堆
    for(i=length/2-1;i>=0;--i)
    HeapAdjust(array,i,length);

    //堆排序
    for(i=length-1;i>0;--i)
    {
        //把第一个元素和当前的最后一个元素交换，
        //保证当前的最后一个位置的元素都是在现在的这个序列之中最大的
        array[i]=array[0]^array[i];
        array[0]=array[0]^array[i];
        array[i]=array[0]^array[i];
        //不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
        HeapAdjust(array,0,i);
    }
}
int main()
{
    int i;
    int num[]={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0};
    HeapSort(num,sizeof(num)/sizeof(int));
    for(i=0;i<sizeof(num)/sizeof(int);i++)
    {
        printf("%d ",num[i]);
    }
    printf("\nok\n");
    return 0;
}

4、堆排序的性能

建堆时间复杂度是O(n)，堆排序是O(nlgn)。所以总的时间复杂度是O(nlgn)。

和其它排序算法的比较：
算法思想类似于选择排序，而且也是不稳定的排序算法。因为简单选择排序每次通过比较找到最大元素，堆排序是通过维护最大堆的性质在根节点找到最大元素，然后放到数组最后，直到所有节点都排好序。既然类似选择排序，那也会影响等值元素在数组中的原有顺序，从而破坏稳定性。