開頭
卷積是信號與系統分析中必不可少的工具。
這次的學習教材爲Alan V. Oppenheim的信號與系統，視頻課程爲Alan V. Oppenheim在MIT的公開課。
學習卷積需要一些基礎知識：
- 極限和積分的基礎知識
- 系統的輸入與輸出
- 離散時間系統與連續時間系統
- 系統的線性(Linearity)和非線性
- 時不變系統(Time Invariance System)和時變系統
單位衝激函數(Unit Impulse)和單位階躍函數(Unit Step)
卷積的定義和推導
卷積嚴格來說應該分爲卷積和(Convolution Sum)和卷積積分(Convolution Integral),分別對應離散時間系統和連續時間系統。
如果單純從數學上來說，卷積的定義會較難理解並且非常枯燥，但如果把卷積的推導過程放到LTI系統中來進行，會較爲直觀。
首先從離散時間系統開始：
連續時間系統過程類似，但由於連續時間系統的固有特性，推導中會有一個逐漸逼近極限的過程：
在學習卷積的過程中，很容易迷惑的一個點是會有兩個自變量出現，比如t和，其實對於一個固定的t，以爲自變量積分，積分出來是一個常數，即一個x(t)對應一個y(t)，也許可以看作運算過程中設置的自變量，爲了方便推導和計算。
也可以說卷積是人爲定義的一種運算，就是爲了計算的方便規定的一種算法。兩個函數普通乘積的積分變換（傅里葉變換與拉普拉斯變換）與這兩個函數積分變換的卷積建立了關係，使我們只要會求兩個函數的變換，利用卷積就可以求這兩個函數乘積的變換。
連續時間系統的卷積是一種積分運算，它可以用來描述線性時不變系統的輸入和輸出的關係：即輸出可以通過輸入和一個表徵系統特性的函數（衝激響應函數）進行卷積運算得到。連續時間系統的卷積包含了四步：翻轉，移位，乘積，積分。
還有一個有趣的說法，小學學過的多位數乘法就包含了卷積的思想。
神奇的LTI系統
LTI-Linearity Time Invariance System即線性時不變系統，通過卷積的推導過程我們可以驚喜的發現對於LTI系統，可以將系統表示稱0時刻的脈衝信號經過該系統後的響應(The LTI system could be represented in terms only of its response to an impulse at time zero)，也就是說對於LTI系統，只要知道在t=0或n=0是的單位衝激信號的響應，通過卷積積分或者是卷積和的計算，就能夠得到系統對於任意輸入的響應。
LTI系統的這一特點對於系統分析是非常方便的。
卷積的過程
怎麼理解卷積的動態過程也是一個重點，基本上只能靠圖片和視頻來形象化的理解。
離散時間系統的例子：
連續時間系統的例子：
整個過程通俗來說就是一個函數不動，另一個階躍函數反轉之後從左向右滑動，過程中計算積分或者是求和。
這兩個都是簡單的例子，實際上通過書上其他例子可以理解，時域上的卷積實際上是一種濾波。
有趣的卷積
從《電子工程專輯》公衆號還看到一些非常有趣的例子，可以幫助理解卷積：
比如說你的老闆命令你幹活，你卻到樓下打檯球去了，後來被老闆發現，他非常氣憤，扇了你一巴掌（注意，這就是輸入信號，脈衝），於是你的臉上會漸漸地（賤賤地）鼓起來一個包，你的臉就是一個系統，而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應，好，這樣就和信號系統建立起來意義對應的聯繫。
下面還需要一些假設來保證論證的嚴謹：假定你的臉是線性時不變系統，也就是說，無論什麼時候老闆打你一巴掌，打在你臉的同一位置（這似乎要求你的臉足夠光滑，如果你說你長了很多青春痘，甚至整個臉皮處處連續處處不可導，那難度太大了，我就無話可說了哈哈），你的臉上總是會在相同的時間間隔內鼓起來一個相同高度的包來，並且假定以鼓起來的包的大小作爲系統輸出。好了，那麼，下面可以進入核心內容——卷積了！
如果你每天都到地下去打檯球，那麼老闆每天都要扇你一巴掌，不過當老闆打你一巴掌後，你5分鐘就消腫了，所以時間長了，你甚至就適應這種生活了……如果有一天，老闆忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老闆不斷扇你，脈衝不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數了（注意理解）；如果老闆再狠一點，頻率越來越高，以至於你都辨別不清時間間隔了，那麼，求和就變成積分了。
可以這樣理解，在這個過程中的某一固定的時刻，你的臉上的包的鼓起程度和什麼有關呢？和之前每次打你都有關！但是各次的貢獻是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻越小，所以這就是說，某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減係數之後的疊加而形成某一點的輸出，然後再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數，這就是卷積，卷積之後的函數就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數。
本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續打，幾個小時也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程麼？反映到劍橋大學的公式上，f(a)就是第a個巴掌，g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了。
From 《電子工程專輯》公衆號
總結
個人觀點是理解和學習卷積還是要從工程的角度出發，從信號與系統的角度出發，而不要把它當作純粹的數學工具。