SICP 習題 （2.11）解題總結:區間乘法的優化

SICP 習題 2.11又出現Ben這個人了，如以前說到的，只要是Ben說的一般都是對的。

來看看Ben說什麼，他說：“通過監測區間的端點，有可能將mul-interval分解爲9中情況，每種情況中所需要的乘法都不超過兩次”。

所以這個叫Ben的人建議Allysa重寫mul-interval過程。

到底是啥意思呢，我們先來看看以前的mul-interval過程：

(define (mul-interval x y)
  (let (( p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
	( p2 (* (lower-bound x) (upper-bound y)))
	( p3 (* (upper-bound x) (lower-bound y)))
	( p4 (* (upper-bound x) (upper-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
		   (max p1 p2 p3 p4))))

可以發現，這裏使用了4次乘法，然後取4此乘法的最小值爲起點，最大值爲終點。

按Ben的意思，我們可以將這4次乘法減少爲兩次，前提是對區間的端點進行判斷。

其實我們自己想一想大概能夠明白Ben這段神祕的話。 比如，如果相乘的兩個區間都是完全大於零的區間，兩個區間的起點相乘肯定是4次乘法中最小的值，而兩個終點相乘肯定是4次乘法中的最大的，這樣我們只需要計算兩個起點相乘，還有就是兩個終點相乘就可以了。這樣我們就可以使用2次乘法完成工作，而不用4次。

不過，對我們程序員來講工作就複雜很多了，我們需要取判斷這9中情況，分別想好9種情況種選用什麼作爲結構的起點和終點，最後寫出來的代碼如下，巨煩瑣：

(define (mul-interval x y)
  (if (> (lower-bound x) 0)
      (if (> (lower-bound y) 0)
	  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	  (if (> (upper-bound y) 0)
	      (make-interval (* (upper-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (make-interval (* (lower-bound x) (upper-bound y)) (* (lower-bound x) (upper-bound y)))))
      (if (> (upper-bound x) 0)
	  (if (> (lower-bound y) 0)
	      (make-interval (* (lower-bound x) (upper-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (if (> (upper-bound y) 0)
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y))
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))))
	  (if (> (lower-bound y) 0)
	      (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
	      (if (> (upper-bound y) 0)
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y)))
		  (make-interval (* (lower-bound x) (lower-bound y)) 
				 (* (upper-bound x) (upper-bound y))))) )))

有人可能會問，把原來那個如此優雅的過程寫成現在這樣有意思嗎？一堆醜陋的判斷！

這裏需要理解的就是，如果系統中乘法是一個消耗很大的操作，比如每個乘法消耗2秒，這樣我們做這個優化就有意義的，雖然我們寫的代碼醜很多，麻煩很多，不過代碼運行效率就比較高了。