簡單數論

參考：《挑戰程序設計競賽》

1.輾轉相除法 --- gcd和lcm

代碼:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
//===================//
//int 類型函數gcd:
//計算最大公約數。
//方法：輾轉相除。 
//===================// 
int gcd(int a,int b) //gcd複雜度<O(log max(a,b))
{
    int t;
    if(a<b)
    {
        t=a;
        a=b;
        b=t;
    }
    
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
//===================//
//int 類型函數lcm:
//計算最小公倍數。
//方法：a*b/gcd(a,b) 
//===================// 
int lcm(int a,int b,int gcd)
{
    return a*b/gcd;
}

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        int g=gcd(a,b);
        int l=lcm(a,b,g);
        
        printf("%d\n",l);
    }
    return 0;
}

實現依據：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

關於求最小公倍數，更爲簡單的方法:求n個數的最小公倍數

2.素性測試

代碼:

#include<cstdio> 
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int prime(int a)
{
    int i;
    for(i=2 ; i*i<=a ;i++)//遍歷2到根號a
    {
        if(a%i==0)return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int a;
    while(scanf("%d",&a)!=EOF)
    {
        if(prime(a)==1)printf("%d is a prime\n",a);
        else printf("%d is not a prime\n",a);
    }
    return 0;
}

依據:
如果d是n的約數，那麼n/d也是n的約數。n=d*n/d可得min(d,n/d)<=根號n

3.埃氏篩法

代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#define MAX_N 100000000 
using namespace std;
//=================//
//埃氏篩法:  
//枚舉n以內素數 
//=================//
bool is_prime[MAX_N+1];//is_prime[i]==1說明是素數 
int prime[MAX_N]; 
int sieve(int n)
{
    int p=0;
    int i,j;
    
    for(i=0;i<=n;i++)
    is_prime[i]=true; //初始化 
    
    is_prime[0]=is_prime[1]=false; //0 1不是素數 
    
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[p]=i; //存儲素數 
            p++;
            
            for(j=2*i ; j<=n ; j+=i) //j從2i開始 如果是i的倍數 置false 
            {
                is_prime[j]=false; //非素數 
            }
        }
    }
    return p;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("total:%d\n",sieve(n));
    }
    return 0;
}

原理：保留0到n內所有質數，同時除去所以合數。