掌握用 STL 中的 SET 動態維護 “各類型凸殼” / “凸包”

一、例題引入

題意：

主人公小智一共會捕捉 $n$ 只寶可夢，寶可夢有兩個屬性，攻擊值 $A$，防禦值 $B$。每當捕捉到一隻新的寶可夢 $T$，小智有兩種方法判斷這隻寶可夢是否是無用的。

1. 存在一隻寶可夢 $X$，使得 $X.A > T.A$ 並且 $X.B > T.B$
2. 存在兩隻寶可夢 $X,Y$，使得 $c*X.A+(1-c)*Y.A>T.A$ 並且 $c*X.B+(1-c)*Y.B>T.B$，$0\leq c\leq 1$

每當捕捉到一隻新寶可夢，需要輸出當前共有幾隻無用寶可夢。$(1\leq n\leq 10^5,0\leq A_i,B_i\leq 10^9)$

題目來源：Gym​ ​102302-I

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思路：

一開始一直在推導式子，妄圖想要用一個指標同時維護這兩個變量，然後就自閉了…

後來在隊友提醒之下，發現這是一個線段參數方程。線段兩端點爲 $(a,b)、(c,d)$，則線段上的點可以如下表示。
$X=k*a+(1-k)*c \\ Y=k*b+(1-k)*d \\ k\in[0,1]$
可能不夠直觀，但我們可以通過斜率來證明這是線段的參數方程。
$\displaystyle\frac{X-a}{Y-b}=\displaystyle\frac{(1-k)*(c-a)}{(1-k)*(d-b)}=\displaystyle\frac{c-a}{d-b}=線段斜率$
發現這是一個線段參數方程之後，此題就轉化成了一個動態維護凸殼的問題，凸殼如下所示。

觀察這個凸殼，我們定義比較函數如下。

struct Node {
	int x,y;
	bool operator < (Node T) const {
		return x == T.x ? y > T.y : x < T.x;		
	}
}

然後每次增加一個點的時候，向兩邊進行擴展刪點即可。刪點的標準爲左右兩端點連線是否能夠覆蓋自己，如果能則刪，不能則保留。具體過程見下文代碼，代碼很短，簡單易懂。

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例題總結：

此題最重要的兩個關鍵點。

1. 識別線段的參數方程
2. 根據題意構建凸殼模型，並用 SET 求解

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代碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

struct Node{
	ll x,y;
	Node operator - (Node p) const {return {x-p.x,y-p.y};}
	ll operator ^ (Node p) const {return x*p.y-y*p.x;}
	bool operator < (Node p) const {return (x == p.x ? y > p.y : x < p.x);}
};

struct Hull : public multiset<Node>{
	bool inside(iterator p){
		auto t2 = next(p);
		if(t2 == end()) return 0;
		if(p == begin()) return t2->x > p->x && t2->y > p->y;
		auto t1 = prev(p);
		if(((*t1-*p)^(*t2-*p)) < 0) return 1;
		else return 0;
	}
	void ins(Node p){
		auto t = insert(p);
		if(inside(t)) { erase(t); return; }
		while(t != begin() && inside(prev(t))) erase(prev(t));
		while(next(t) != end() && inside(next(t))) erase(next(t));
	}
};

int main()
{
	int n; scanf("%d",&n);
	Hull hull;
	rep(i,1,n){
		ll x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);
		hull.ins({x,y});
		printf("%d\n",i-(int)hull.size());
	}
	return 0;
}

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二、各類型凸殼總結

凸殼處理過程中，主要注意點在於左右兩邊的垂直，在接下來所舉的例子中，應仔細觀察對於垂直的處理。

先按 $x$ 升序，再按 $y$ 升序

每次插入新節點，只需要插入 set 並找到對應位置，然後依次判斷兩邊的節點是否應該被刪除。（代碼部分同例題）

1. 上凸殼（可包含左邊的垂直線段

2. 下凸殼（可包含右邊的垂直線段

先按 $x$ 升序，再按 $y$ 降序

1. 上凸殼（可包含右邊的垂直線段

2. 下凸殼（可包含左邊的垂直線段

特殊凸殼

此類凸殼兩邊都有垂直線段，因此我們需要重新思考左邊垂直線段的問題。我們以左邊點是否固定來進行區分。

• 左邊點固定
  • 如果左邊點固定，我們則可以按照先按 $x$ 升序，如果 $x=x_{min}$，$y$ 升序，否則 $y$ 降序
• 左邊點不固定
  • 如果左邊點不固定，我們可以考慮使用兩個 SET 來進行維護，其中一個用於維護左邊界垂直線，實現起來細節較繁瑣

三、凸包維護

相較於種類繁多的凸殼，凸包維護較爲清晰。

• 按照 “$x$ 升序 $+$ $y$ 升序” 方法進行排序
  • 起點爲最小值處，終點爲最大值處
  • 上凸殼維護上半部分，下凸殼維護下半部分
• 用兩個 $set$ 分別維護上下凸殼
• 上下凸殼判斷一個點是否刪除的代碼不同，但均使用叉乘
  • 判斷點 $P$ 是否該刪去，左邊點爲 $X$，右邊點爲 $Y$
  • 上凸殼 $(X-P)$^$(Y-P)<0$ 則刪除點 $P$
  • 下凸殼 $(X-P)$^$(Y-P)>0$ 則刪除點 $P$

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後記

$set$ 維護 “凸殼” / “凸包” 的內容到此就結束了，最後補充幾點：

1. 除了 $set$，也可以直接手寫 $Splay$ 等平衡樹進行維護
2. 凸包維護過程也可以尋找一個定點，根據極角序進行排序

最後祝大家 $AC$ 愉快，一起愛上凸包把！(๑•̀ㅂ•́)و✧

$ACM$ 的旅行雖然充滿荊棘但一擡頭便能看見無數束光，請務必堅持下去，負重前行終有云開霧散之日！💪💪💪