概率论之微积分的解

首先说明，尽管公司已经复工，但住的地还是封闭的，回不去，只能在家待着了。复习《概率率与数理统计》发现对微积分不是清楚。对于怎么解题，也是看不懂。虽说概率论的思想（或称思路）比较重要，但对于题，总归是要有个结果，才能得分的吧。

之前的理解，其实都是古典微积分的内容：

古典微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积求和后得到的

1. 无穷小量：在用古典微积分求解曲线围成的面积事，把曲线对 的定义域[a,b]均分成间隔长度   为n份，当n  时， 变成无穷小量，记作dx，即  X 的微分
2. 微分：微分是微小的增量，即无穷小量。在古典微积分学中，无穷小量是建立微积分的基础。
3. 切线：通过无穷小量定义了切线。
4. 导数：导数就是切线的斜率。

无穷小量有严重的问题：

所以就古典微积分中切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些，  的导数是这样计算的：

仔细看看运算过程， dx 先是在约分中被约掉， 

然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。
无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？
无穷小量还违反了 阿基米德公理 （公理等价于说，对于任何正实数a、b，如果 a<b，则存在自然数n，有

），这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

基于极限重建微积分概念：

可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。

导数的极限定义

用极限重新严格定义了导数，此时已经脱离了微商的概念。也就是此时，导数应该被看成一个整体。 

原来古典微积分是先定义微分再定义导数，

现在极限微积分是先定义了导数再有微分。

 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义： 

 

把切线的增量定义为微分函数dy

我们令 ，由此可得 微分 dx的定义。
最后我们可以得到  ： 

 

对于极限微积分的总结

• 导数：导数被定义为一个极限，其意义就是变化率
• 微分：微分是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
• 切线：有了导数之后就可以被确定下来了