1 線性代數引論

1.線性代數引論

1.1 Jordan標準形

• Jordan塊
  主對角元素爲某一特徵值，副對角元素爲1，如：
  1階J塊：(λ )
  2階J塊：(λ1λ)
  3階J塊：⎛⎝⎜⎜λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟
  4階J塊：⎛⎝⎜⎜⎜⎜λ1λ1λ1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟
  ……
  n階J塊：⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜λ1λ1⋱⋱⋱1λ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

• Jordan標準形
  由Jordan塊組成的對角陣，如
  

  ⎛⎝⎜⎜⎜⎜J1J2⋱Jn⎞⎠⎟⎟⎟⎟

• 求矩陣A的Jordan標準形

  1. 先求A的特徵多項式，解出特徵值
  2. 特徵值單重根爲1階J塊，2重根爲1個2階J塊或2個1階J塊，即副對角線元素爲1或0，先設爲*（3重以上的差不多，可能是3個1階J塊，或1個3階J塊，或1個1階J塊+1個2階J塊）
  3. 對多重根算n-r(A- Iλ)=k，（r(A- Iλ)= r(Iλ-A)，實際上跟證相似對角化是一樣的套路）k是多少那麼那個特徵值就對應幾個J塊，如k=1，則這個2重特徵值對應1個2階J塊，*=1,。如k=2，則對應2個1階J塊，*=0。

• 注意

  • 矩陣A有多少個正交的特徵向量，就有多少個Jordan塊
  • A有n個相異的特徵值，就有n個1階J塊
  • 不考慮J塊次序，復矩陣A的Jordan形由A唯一確定

• 定理
  任意n階矩陣A都可相似於Jordan標準形

1.2 λ矩陣理論

λ矩陣——A(λ)表示矩陣元素含λ

• 最小多項式
  首1的，次數最低的，A的零化式，爲A的最小多項式mA(λ) 。能讓f(A)=0的就是A的零化式

• 求最小式
  先求特徵多項式 f(λ)=|λI−A| ，設g(λ)=(λ−a)i(λ−b)j… 從次數最低的開始嘗試如g1(λ)=(λ−a)(λ−b)… ，算一算是否有g1(A)=0 ，不斷提高次數直到遇到gX(A)=0 ，它就是最小式

• A的最小式無重根 等價於

  1. A可對角化
  2. λI-A的不變因子無重根
  3. λI-A的初等因子均一次

• 求初等因子
  
  方法2中第2步所謂的分解因式是把不同類型的因式拆開，(λ−1)2(λ+1)3 ，同類型帶次數的不要把次數拆開
  方法3 常用，一般不考r>3的清醒
  初等因子可能有重複的，如北航矩陣論教材27頁例5

• 求不變因子
  A爲幾階方陣就有幾個不變因子，從第n個往前求。從初等因子組中取出同類型因子次數最高的項（如：λ-1, (λ-1)2, λ+2 ,( λ+2)3，帶λ-1的是一個類型的，取出最高次(λ-1)2 ，帶λ+1的是一個類型的，取出最高次(λ+1)3，組成(λ-1)2(λ+1)3）作爲第n個不變因子dn(λ)，重複上述步奏直到初等因子全部用完，不變因子不足n個，用1補齊，如…=d2(λ)= d1(λ) = 1

• 求Smith標準形
  不變因子順序排下來，寫在主對角線上，就是smith標準形
  也可以直接由A(λ)經初等行變換化得，要保證第i項能被第i+1項整除，非常麻煩

1.3 Hermite轉置

• 共軛轉置: AH ,對A取轉置後再取共軛
• 厄米特陣: AH=A ，若xHAx> 0 則稱A厄米特正定
• 酉矩陣: UHU=I 類似正交陣(QTQ=I )，但U是複數陣
• 共軛轉置Hermite轉置的計算
  
  1. (AB)H=BHAH ，其中A爲m行n列的矩陣，B爲n行p列矩陣。
  2. (AH)H=A
  3. (A+B)H=AH+BH 。
  4. (rA)H=r⎯⎯AH ，其中r爲複數，r⎯⎯ 爲r的共軛
  5. 若A爲方陣，則 |AH|=|A|H ，且tr(AH)=(trA)H
  6. A是可逆矩陣， 當且僅當 AH 可逆，且有(AH)−1=(A−1)H
  7. AH 的特徵值是A的特徵值的複共軛。
  8. (Ax,y)=(x,AHy) ，其中A爲m行n列的矩陣，復向量x爲n維列向量，復向量y爲m維列向量，( , )爲複數的內積。
  9. 分塊矩陣的運算與轉置相同，先交換行列，在求每個分塊的共軛轉置

1.4 酉空間

其實就是把歐式空間裏的實數變成複數, 歐式空間是有限維的實內積空間，酉空間是有限維的復內積空間

• 實對稱陣，正交陣，厄米特陣與酉矩陣

.	實數域	複數域
對稱	實對稱陣(AT=A )	厄米特陣(AH=A )
正交	正交陣(ATA=I )	酉矩陣(AHA=I )

1. A是實對稱陣（AT=A ）等價於 存在正交陣Q使得 A相似於 對角陣，即QTAQ=diag(λi…) ，且λi 爲實數
2. A是正交矩陣（AT=A−1 ） 等價於 存在酉矩陣U使得 A酉相似於 對角陣，即UHAU=diag(λi…) , 且|λi|=1
3. A是厄米特陣（AH=A ） 等價於 A酉相似於 對角陣，且特徵值爲實數

4. A是酉矩陣（AH=A−1 ） 等價於 A酉相似於 對角陣，且特徵值模爲1

   • 相似, 正交相似與酉相似：
5. ∃ 可逆陣P, 使得P−1AP=B , 即A 相似於B
6. ∃ 正交陣Q, 使得QTAQ=B , 即A 正交相似於B

7. ∃ 酉矩陣U, 使得UHAU=B , 即A 酉相似於B

   • 許爾引理（Schur）：∀An×n∈C , A都可 酉相似於 一個上三角陣，其主對角元爲A的特徵值

   • 正規矩陣（規範陣）：∀An×n∈C ，有 AHA=AAH

   • 實對稱陣（AT=A ） 反實對稱陣（AT=−A ） 正交陣（AT=A−1 ）
   • 厄米特陣（AH=A ） 反厄米特陣（AH=−A ） 酉矩陣（AH=A−1 ）
     均是正規矩陣

1.5 補充：正定矩陣

• 描述
  設方陣Mn×n ，若對任何非零向量z，都有zTMz>0 ，則稱M爲正定矩陣。

• 判定
  正定矩陣在合同變換下可化爲標準型， 即對角矩陣。
  所有特徵值大於零的對稱矩陣（或厄米矩陣）也是正定矩陣。
  判定定理1：對稱陣A爲正定的充分必要條件是 A的特徵值全爲正。
  判定定理2：對稱陣A爲正定的充分必要條件是 A的各階順序主子式都爲正。
  判定定理3：任意陣A爲正定的充分必要條件是 A合同於單位陣。

• 性質：

  1. 正定矩陣一定是非奇異的。（奇異矩陣的定義：若n階矩陣A爲奇異陣，則其的行列式爲零，即 |A|=0）
  2. 正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。
  3. 若A爲n階正定矩陣，則A爲n階可逆矩陣。