3 廣義逆矩陣

3. 廣義逆矩陣

3.1 定義

• 廣義逆
  Am×n,Xm×n ，若X滿足moore-penrose條件

  1. AXA=A
  2. XAX=X
  3. (AX)H=AX
  4. (XA)H=XA
     中的一部分，稱X是A的廣義逆矩陣, 簡稱廣義逆

• 僞逆A+

  • 如果X滿足上述所有moore-penrose條件，則稱X是A的僞逆，或加號逆（M-P逆），記爲A+ , 若A可逆，則A−1=A+ 。
  • ∀An×n∈C，A+ 存在且唯一。
  • 性質
    
    1. AA+A=A
    2. A+AA+=A+
    3. (AA+)H=AA+
    4. (A+A)H=A+A

• 僞逆的運算
  設An×n∈C ，則

  1. 僞逆的僞逆是自己，(A+)+=A
  2. 共軛轉置的僞逆=僞逆的共軛轉置，(AH)+=(A+)H
  3. 轉置的僞逆=僞逆的轉置，(AT)+=(A+)T
  4. (AHA)+=A+(AH)+，(AAH)+=(AH)+A+
  5. 一般的僞逆不能去括號，(AB)+≠B+A+
  6. 一般地，A乘A的僞逆不等於單位陣，A+A≠AA+≠I
  7. 僞逆的秩=本身的秩，r(A+)=r(A)
  8. A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+
  9. 僞逆的像空間=共軛轉置的像空間R(A+)=R(AH)
  10. 僞逆的核空間=共軛轉置的核空間N(A+)=N(AH)
      

• A的{n}逆
  滿足第n個moore-pensore條件的廣義逆叫做A的{n}逆，記作A(n), n=1,2,3,4，如：

  1. 滿足第1個mp條件爲A的{1}逆，可寫作A(1)，常記作A− ，也叫A的減號逆
  2. 滿足第2,3個mp條件的爲A的{2,3}逆，可寫作A(2,3)
     以上均是A的廣義逆

3.2 僞逆A+ 的求法

• 滿秩分解求A+
  對於Arm×n , r > 0, A有滿秩分解 A=Fm×rGr×n (列滿秩×行滿秩),則
  A+=GH(GGH)−1(FHF)−1FH=GH(FHAGH)−1FH
  特別地，
  當A列滿秩，r=n時，A+=(AHA)−1AH
  當A行滿秩，r=m時，A+=AH(AAH)−1

• 奇異值分解求A+
  對於Arm×n,r>0 , A有奇異值分解
  

  A=V(Sr000)UH
  
  則有
  
  A+=U(S−1r000)VH
  
  即UV位置對換，Sr取逆，對角元全變倒數：Sr−1=diag(σ−11,…σ−1r)
  或者，只需要U, U=(U1,U2) , 則A+=U1Λ−1rUH1AH , 這裏Λr=S2r=diag(λ1,…,λn)

• 奇異值分解求A+的簡化步驟：

  1. 求出AHA 的r個非0特徵值
  2. 求出相應的特徵向量，並schmidt正交化，組成酉高矩陣U1
  3. 
     
     A+=U1⎛⎝⎜⎜⎜λ−11⋱λ−1r⎞⎠⎟⎟⎟UH1AH

• 秩1公式求A+ ：若r(A)=1, 則

  A+=1∑|aij|2AH

• 譜分解求A+ (這個部分有些問題。。。有空再改)
  AHA 有k個相異的特徵值，AHA 的譜分解爲

  AHA=∑i=1kλiGi
  
  這裏Gi=XiYi ，Xi 是P的各列向量，Yi 是P−1 的各行向量，P是AHA 相似對角化時的可逆陣P, 則
  
  A+=∑i=1kλiϕi(AHA)ϕi(λi)AH
  
  其中
  ϕi(λ)=∏j=1,i≠jk(λ−λj)

3.3 廣義逆與線性方程組

• 方程組相容：
  即Ax=b有解（當且僅當A列滿秩時解唯一, Am×n ）
  Ax=b相容的充要條件爲AA−b=b , 其通解爲：

  x=A−b+(In−A−A)y
  
  y爲n階任意列向量，因爲A+ 是A− 的子集，所以將A− 替換爲A+ 也成立(這裏的In 的階數與A的列數相等)：
  x=A+b+(In−A+A)y
  
  極小範數解爲：
  x0=A+b

• 方程組不相容：
  x的最小二乘解的通解爲：
  

  x=A+b+(In−A+A)y
  
  當且僅當A列滿秩時，不相容方程組Ax=b的最小二乘解唯一，是：
  
  x0=A+b
  
  當A非列滿秩時,最小二乘解不唯一，但上式是極小範數最小二乘解, 且唯一。

3.4 A的{1}逆A− 的求法

對於Am×n,∃Pm,Qn 可逆，使得

PAQ=(Ir000)UH

則

A−={Q(IrX21X12X22)PX12,X21,X22爲任意適當階子塊}

Xr×(m−r)12，X(n−r)×r12，X(n−r)×(m−r)22 可取0, 則

A−=Q(Ir000)P

特別地，當An×n 爲方陣且可逆時，有

PAQ=In

此時

A−=QInP=QP=A−1

• 初等行變換求P, Q
  
  (Am×nInIm0)⟶⎛⎝⎜⎜(In000)QP0⎞⎠⎟⎟