4. 树--树的表示

查找

根据某个给定关键字K，从集合R中找出关键字与K相同的记录

• 静态查找：集合中记录是固定的，没有插入和删除操作，只有查找
• 动态查找：集合中记录是动态变化的，除查找，还可能发生插入和删除

静态查找

顺序查找

int SequentialSearch(StaticTable *Tbl, ElementType K) {
    int i;
    for (int i = 0; i < Tbl->Length; i++) {
        if (Tbl->Element[i] == K)
            return i;
    }

    return -1;
}

顺序查找算法的时间复杂度为O(n)

二分查找（Binary Search）

假设n个数据元素的关键字满足有序（比如：小到大）

k_1 \le k_2 \le ... \le k_n 

并且是连续存放（数组），那么可以进行二分查找

代码实现

int BinarySearch(StaticTale *Tbl, ElementType K) {
    int left, right, mid, NotFound = -1;

    left = 0;                   // 初始左边界
    right = Tbl->Length - 1;    // 初始右边界
    while (left <= right) {
        mid = (left + rigth) / 2;   // 计算中间元素座标
        if (k < Tbl->Element[mid])  // 调整右边界
            right = mid - 1;
        else if (k > Tbl->Element[mid]) // 调整左边界
            left = mid + 1;
        else
            return mid;             // 查找成功，返回下标
    }

    return NotFound;                // 查找失败，返回-1
}

二分查找算法具有对数的时间复杂度O(logN)

二分查找判定树

进行二分查找的时候，元素会构成一个二分查找判定树：
* 判定树上每个结点需要的查找次数刚好为该结点所在的层数
* 查找成功时查找次数不会超过判定树的深度
* n个结点的判定树深度为[logN2]+1

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树（Tree）

定义

• n(n≥0) 个结点构成的有限集合
• 当n=0 时，称为空树
• 对于任一棵非空树(n≥0) ，它具备以下性质：
  
  • 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示
  • 其余结点可分为m(m≥0) 个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm ，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”
  • 子树是不相交的
  • 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父节点
  • 一棵N 个结点的树有N−1 条边

基本术语

1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数
2. 树的度：树的所有结点中最大的度数
3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点
4. 父节点（Parent）：有子树的结点是其子树的根结点的父结点
5. 子结点（Child）：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点。子结点也称孩子结点
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点
7. 路径和路径长度：从结点n1 到nk 的路径为一个结点序列n1,n2,...,nk ，ni 是ni+1 的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度
8. 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点
9. 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中所有结点是这个结点的子孙
10. 结点的层次（Level）：规定根结点在1层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加1
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度

图的表示

儿子-兄弟表示法