[编程题]称砝码

Talk is cheap, show me the code.

一、问题描述

现有一组砝码，重量互不相等，分别为m1,m2,m3…mn；

每种砝码对应的数量为x1,x2,x3…xn。现在要用这些砝码去称物体的重量，问能称出多少中不同的重量。

注：

称重重量包括0

方法原型：public static int fama(int n, int[] weight, int[] nums)

输入描述：

输入包含多组测试数据。

对于每组测试数据：

第一行：n — 砝码数(范围[1,10])

第二行：m1 m2 m3 … mn — 每个砝码的重量(范围[1,2000])

第三行：x1 x2 x3 …. xn — 每个砝码的数量(范围[1,6])

输出描述：

利用给定的砝码可以称出的不同的重量数

输入例子：

2
1 2
2 1

输出例子：

5

二、问题分析

这道题要求思路比较开阔，初拿到题目，可能习惯性地就按组合问题的思路来思考，先从所有砝码中选一个砝码，记录不同重量在set中，然后再考虑从所有砝码中选两个砝码的情况，这相当于又是从头开始选砝码，选两个砝码复杂度是 O(n*n)，把不存在set中的重量加入到set中，然后再考虑从所有砝码中选三个砝码的情况，复杂度是 O(n * n * n)…可见这种思路是思考问题的常规思路，但是解法的复杂度太高，几乎不可能完成。所有组合问题都有这个特点，按这种思路思考下去一定是无法求解问题的。另外一种常规思路是，先考虑所有砝码组成的最大重量，然后从 0 一直考虑到最大重量，看能不能从现有砝码中组成相应重量，但是这也是涉及选砝码的工作，复杂度也是非常高，所以也是不可行的。那么，这两种常规思路的高复杂度来源于每次选砝码的工作都是从头做起，那么就需要考虑动态规划的算法，即每次选砝码都是基于上一次的选择结果。

这种动态规划的算法也有多种思路。思路一，可以先从所有不同重量的砝码中考虑选择一个砝码出来，记录所有可能的重量，然后在从所有不同重量的砝码中选择一个砝码出来，在已有重量记录中分别加上第二次选出来的砝码的重量，不存在的话就将重量加入记录，但是这种思路的缺点是第二次选择砝码有多种可能性，程序不好处理。那么只剩下一种考虑方向了，就是 n 种不同重量砝码一种接一种地考虑，先考虑第一种重量的砝码，记录第一种砝码不同个数所有可能组成的重量，然后再考虑第二种重量的砝码，第二种重量的砝码加入需要考虑两种情况，一种情况是它自身不同个数所有可能组成的重量，如果不存在已有记录则加入记录，另一种情况是第二种重量砝码不同个数分别加在已有记录中各个重量上，如果新产生的重量不存在于记录中则加入记录。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iterator>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        vector<int> mvect, xvect;
        int m, x;
        int temp = n;
        while (temp--)
        {
            cin >> m;
            mvect.push_back(m);
        }
        temp = n;
        while (temp--)
        {
            cin >> x;
            xvect.push_back(x);
        }
        vector<int> vect;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            int size = vect.size();
            for (int k = 0; k < size; k++)
            {
                for (int j = 1; j <= xvect[i]; j++)
                {
                    temp = vect[k] + j * mvect[i];
                    if (find(vect.begin(), vect.end(), temp) == vect.end())
                    {
                            vect.push_back(temp);
                    }
                }
            }
            for (int j = 1; j <= xvect[i]; j++)
            {
                temp = j * mvect[i];
                if (find(vect.begin(), vect.end(), temp) == vect.end())
                {
                    vect.push_back(temp);
                }
            }
        }
        cout << 1 + vect.size() << endl;
    }

    return 0;
}