整數劃分問題及其算法

整數劃分問題及其算法

一、問題描述

整數劃分問題是將一個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。
  如整數的6劃分爲:
  6
  5 + 1
  4 + 2, 4 + 1 + 1
  3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
  2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
  1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1共11種。

二、算法描述

下面通過遞歸方法得到一個正整數的劃分數。
  遞歸函數的聲明爲 int split(int n, int m);其中n爲要劃分的正整數，m是劃分中的最大加數(當m > n時，最大加數爲n)，

 Ⅰ.當n = 1或m = 1時，split的值爲1，可根據上例看出，只有一個劃分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
  可用程序表示爲if(n == 1 || m == 1) return 1;

 

Ⅱ.下面看一看m 和 n的關係。它們有三種關係
 (1) m > n

在整數劃分中實際上最大加數不能大於n，因此在這種情況可以等價爲split(n, n);
 可用程序表示爲if(m > n) return split(n, n);   
 (2) m = n
 這種情況可用遞歸表示爲split(n, m - 1) + 1，從以上例子中可以看出，就是最大加數爲6和小於6的劃分之和
 可用程序表示爲if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
 (3) m < n
 這是最一般的情況，在劃分的大多數時都是這種情況。從上例可以看出，設m = 4，那split(6, 4)的值是最大加數小於4劃分數和整數2的劃分數的和。
 可用程序表示爲split(n, m - 1) + split(n - m, m)

三、程序語言實現

  因爲算法是程序的核心部分，而算法是一致的，所以下面的程序思路一致，大同小異，只是形式不一而已。

1.Java實現：

package kane.csdn; public class InteDevide { public static void main(String[] args) { if (args.length == 0) { System.out.println("你沒有輸入任何參數，請返回後輸入兩個正整數參數!"); return; } if (args.length != 2) { System.out.println("你輸入的參數個數不正確，請返回後輸入兩個正整數參數!"); return; } int x = Integer.parseInt(args[0]); int y = Integer.parseInt(args[1]); if (x < 1 || y < 1) { System.out.println("你輸入的參數中有非正整數，請返回後重新輸入!"); return; } Devide d1 = new Devide(); System.out.println("對於你輸入的參數，求得的整數劃分問題的解的個數爲:" + d1.devide(x, y)); } } // 定義整數劃分算法的函數的類 class Devide { int devide(int a, int b) { if (a == 1 || b == 1) return 1; if (a < b) return devide(a, a); if (a == b) return devide(a, b - 1) + 1; return devide(a, b - 1) + devide(a - b, b); } }

 

2.C++實現：

#include <stdio.h> int split(int n, int m) { if(n < 1 || m < 1) return 0; if(n == 1 || m == 1) return 1; if(n < m) return split(n, n); if(n == m) return (split(n, m - 1) + 1); if(n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m), m)); } int main(){ printf("12的劃分數: %d", split(12, 12)); return 0; }  
C++實現的比較潦草，沒有讓用戶輸入數據，沒有一般交互性，不過可以自己再改正一下！

 

 

就遞歸方式而言，最大的不好之處就是遞歸次數太多，做了太多的冗餘計算。
(N,M)          所需時間（ms）    
100,100        250
120,120         1281.3
140,140         6297
160,160         27484.7
180,180         110844.5
200,200         398417.4
相對而言，動態規劃效率要高很多，不是一個數量級的,篇在介紹啊!