第0節、引例
本文以Fisher的Iris數據集作爲神經網絡程序的測試數據集。Iris數據集可以在http://en.wikipedia.org/wiki/Iris_flower_data_set 找到。這裏簡要介紹一下Iris數據集：
有一批Iris花，已知這批Iris花可分爲3個品種，現需要對其進行分類。不同品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度會有差異。我們現有一批已知品種的Iris花的花萼長度、花萼寬度、花瓣長度、花瓣寬度的數據。
一種解決方法是用已有的數據訓練一個神經網絡用作分類器。
如果你只想用C#或Matlab快速實現神經網絡來解決你手頭上的問題，或者已經瞭解神經網絡基本原理，請直接跳到第二節——神經網絡實現。
第一節、神經網絡基本原理
1. 人工神經元( Artificial Neuron )模型
人工神經元是神經網絡的基本元素，其原理可以用下圖表示：
圖1. 人工神經元模型
圖中x1~xn是從其他神經元傳來的輸入信號，wij表示表示從神經元j到神經元i的連接權值，θ表示一個閾值 ( threshold )，或稱爲偏置( bias )。則神經元i的輸出與輸入的關係表示爲：
圖中 yi表示神經元i的輸出，函數f稱爲激活函數 ( Activation Function )或轉移函數 ( Transfer Function ) ，net稱爲淨激活(net activation)。若將閾值看成是神經元i的一個輸入x0的權重wi0，則上面的式子可以簡化爲：
若用X表示輸入向量，用W表示權重向量，即：
X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ]
則神經元的輸出可以表示爲向量相乘的形式：
若神經元的淨激活net爲正，稱該神經元處於激活狀態或興奮狀態(fire)，若淨激活net爲負，則稱神經元處於抑制狀態。
圖1中的這種“閾值加權和”的神經元模型稱爲M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也稱爲神經網絡的一個處理單元( PE, Processing Element )。
2. 常用激活函數
激活函數的選擇是構建神經網絡過程中的重要環節，下面簡要介紹常用的激活函數。
(1) 線性函數 ( Liner Function )
(2) 斜面函數 ( Ramp Function )
(3) 閾值函數 ( Threshold Function )
以上3個激活函數都屬於線性函數，下面介紹兩個常用的非線性激活函數。
(4) S形函數 ( Sigmoid Function )
該函數的導函數：
(5) 雙極S形函數
該函數的導函數：
S形函數與雙極S形函數的圖像如下：
圖3. S形函數與雙極S形函數圖像
雙極S形函數與S形函數主要區別在於函數的值域，雙極S形函數值域是(-1,1)，而S形函數值域是(0,1)。
由於S形函數與雙極S形函數都是可導的(導函數是連續函數)，因此適合用在BP神經網絡中。（BP算法要求激活函數可導）
3. 神經網絡模型
神經網絡是由大量的神經元互聯而構成的網絡。根據網絡中神經元的互聯方式，常見網絡結構主要可以分爲下面３類：
(1) 前饋神經網絡 ( Feedforward Neural Networks )
前饋網絡也稱前向網絡。這種網絡只在訓練過程會有反饋信號，而在分類過程中數據只能向前傳送，直到到達輸出層，層間沒有向後的反饋信號，因此被稱爲前饋網絡。感知機( perceptron)與BP神經網絡就屬於前饋網絡。
圖4 中是一個3層的前饋神經網絡，其中第一層是輸入單元，第二層稱爲隱含層，第三層稱爲輸出層（輸入單元不是神經元，因此圖中有2層神經元）。
圖4. 前饋神經網絡
對於一個3層的前饋神經網絡N，若用X表示網絡的輸入向量，W1~W3表示網絡各層的連接權向量，F1~F3表示神經網絡3層的激活函數。
那麼神經網絡的第一層神經元的輸出爲：
O1 = F1( XW1 )
第二層的輸出爲：
O2 = F2 ( F1( XW1 ) W2 )
輸出層的輸出爲：
O3 = F3( F2 ( F1( XW1 ) W2 ) W3 )
若激活函數F1~F3都選用線性函數，那麼神經網絡的輸出O3將是輸入X的線性函數。因此，若要做高次函數的逼近就應該選用適當的非線性函數作爲激活函數。
(2) 反饋神經網絡 ( Feedback Neural Networks )
反饋型神經網絡是一種從輸出到輸入具有反饋連接的神經網絡，其結構比前饋網絡要複雜得多。典型的反饋型神經網絡有：Elman網絡和Hopfield網絡。
圖5. 反饋神經網絡
(3) 自組織網絡 ( SOM ,Self-Organizing Neural Networks )
自組織神經網絡是一種無導師學習網絡。它通過自動尋找樣本中的內在規律和本質屬性，自組織、自適應地改變網絡參數與結構。
圖6. 自組織網絡
4. 神經網絡工作方式
神經網絡運作過程分爲學習和工作兩種狀態。
(1)神經網絡的學習狀態
網絡的學習主要是指使用學習算法來調整神經元間的聯接權，使得網絡輸出更符合實際。學習算法分爲有導師學習( Supervised Learning )與無導師學習( Unsupervised Learning )兩類。
有導師學習算法將一組訓練集 ( training set )送入網絡，根據網絡的實際輸出與期望輸出間的差別來調整連接權。有導師學習算法的主要步驟包括：
1） 從樣本集合中取一個樣本（Ai，Bi）；
2） 計算網絡的實際輸出O；
3） 求D=Bi-O；
4） 根據D調整權矩陣W；
5） 對每個樣本重複上述過程，直到對整個樣本集來說，誤差不超過規定範圍。
BP算法就是一種出色的有導師學習算法。
無導師學習抽取樣本集合中蘊含的統計特性，並以神經元之間的聯接權的形式存於網絡中。
Hebb學習律是一種經典的無導師學習算法。
(2) 神經網絡的工作狀態
神經元間的連接權不變，神經網絡作爲分類器、預測器等使用。
下面簡要介紹一下Hebb學習率與Delta學習規則 。
(3) 無導師學習算法：Hebb學習率
Hebb算法核心思想是，當兩個神經元同時處於激發狀態時兩者間的連接權會被加強，否則被減弱。
爲了理解Hebb算法，有必要簡單介紹一下條件反射實驗。巴甫洛夫的條件反射實驗：每次給狗餵食前都先響鈴，時間一長，狗就會將鈴聲和食物聯繫起來。以後如果響鈴但是不給食物，狗也會流口水。
圖7. 巴甫洛夫的條件反射實驗
受該實驗的啓發，Hebb的理論認爲在同一時間被激發的神經元間的聯繫會被強化。比如，鈴聲響時一個神經元被激發，在同一時間食物的出現會激發附近的另一個神經元，那麼這兩個神經元間的聯繫就會強化，從而記住這兩個事物之間存在着聯繫。相反，如果兩個神經元總是不能同步激發，那麼它們間的聯繫將會越來越弱。
Hebb學習律可表示爲：
其中wij表示神經元j到神經元i的連接權，yi與yj爲兩個神經元的輸出，a是表示學習速度的常數。若yi與yj同時被激活，即yi與yj同時爲正，那麼Wij將增大。若yi被激活，而yj處於抑制狀態，即yi爲正yj爲負，那麼Wij將變小。
(4) 有導師學習算法：Delta學習規則
Delta學習規則是一種簡單的有導師學習算法，該算法根據神經元的實際輸出與期望輸出差別來調整連接權，其數學表示如下：
其中Wij表示神經元j到神經元i的連接權，di是神經元i的期望輸出，yi是神經元i的實際輸出，xj表示神經元j狀態，若神經元j處於激活態則xj爲1，若處於抑制狀態則xj爲0或－1（根據激活函數而定）。a是表示學習速度的常數。假設xi爲1，若di比yi大，那麼Wij將增大，若di比yi小，那麼Wij將變小。
Delta規則簡單講來就是：若神經元實際輸出比期望輸出大，則減小所有輸入爲正的連接的權重，增大所有輸入爲負的連接的權重。反之，若神經元實際輸出比期望輸出小，則增大所有輸入爲正的連接的權重，減小所有輸入爲負的連接的權重。這個增大或減小的幅度就根據上面的式子來計算。
(5)有導師學習算法：BP算法
採用BP學習算法的前饋型神經網絡通常被稱爲BP網絡。
圖8. 三層BP神經網絡結構
BP網絡具有很強的非線性映射能力，一個3層BP神經網絡能夠實現對任意非線性函數進行逼近（根據Kolrnogorov定理）。一個典型的3層BP神經網絡模型如圖7所示。
BP網絡的學習算法佔篇幅較大，我打算在下一篇文章中介紹。
第二節、神經網絡實現
1. 數據預處理
在訓練神經網絡前一般需要對數據進行預處理，一種重要的預處理手段是歸一化處理。下面簡要介紹歸一化處理的原理與方法。
(1) 什麼是歸一化？
數據歸一化，就是將數據映射到[0,1]或[-1,1]區間或更小的區間，比如(0.1,0.9) 。
(2) 爲什麼要歸一化處理？
<1>輸入數據的單位不一樣，有些數據的範圍可能特別大，導致的結果是神經網絡收斂慢、訓練時間長。
<2>數據範圍大的輸入在模式分類中的作用可能會偏大，而數據範圍小的輸入作用就可能會偏小。
<3>由於神經網絡輸出層的激活函數的值域是有限制的，因此需要將網絡訓練的目標數據映射到激活函數的值域。例如神經網絡的輸出層若採用S形激活函數，由於S形函數的值域限制在(0,1)，也就是說神經網絡的輸出只能限制在(0,1)，所以訓練數據的輸出就要歸一化到[0,1]區間。
<4>S形激活函數在(0,1)區間以外區域很平緩，區分度太小。例如S形函數f(X)在參數a=1時，f(100)與f(5)只相差0.0067。
(3) 歸一化算法
一種簡單而快速的歸一化算法是線性轉換算法。線性轉換算法常見有兩種形式：
<1>
y = ( x - min )/( max - min )
其中min爲x的最小值，max爲x的最大值，輸入向量爲x，歸一化後的輸出向量爲y 。上式將數據歸一化到 [ 0 , 1 ]區間，當激活函數採用S形函數時（值域爲(0,1)）時這條式子適用。
<2>
y = 2 * ( x - min ) / ( max - min ) - 1
這條公式將數據歸一化到 [ -1 , 1 ] 區間。當激活函數採用雙極S形函數（值域爲(-1,1)）時這條式子適用。
(4) Matlab數據歸一化處理函數
Matlab中歸一化處理數據可以採用premnmx ， postmnmx ， tramnmx 這3個函數。
<1> premnmx
語法：[pn,minp,maxp,tn,mint,maxt] = premnmx(p,t)
參數：
pn： p矩陣按行歸一化後的矩陣
minp，maxp：p矩陣每一行的最小值，最大值
tn：t矩陣按行歸一化後的矩陣
mint，maxt：t矩陣每一行的最小值，最大值
作用：將矩陣p，t歸一化到[-1,1] ，主要用於歸一化處理訓練數據集。
<2> tramnmx
語法：[pn] = tramnmx(p,minp,maxp)
參數：
minp，maxp：premnmx函數計算的矩陣的最小，最大值
pn：歸一化後的矩陣
作用：主要用於歸一化處理待分類的輸入數據。
<3> postmnmx
語法： [p,t] = postmnmx(pn,minp,maxp,tn,mint,maxt)
參數：
minp，maxp：premnmx函數計算的p矩陣每行的最小值，最大值
mint，maxt：premnmx函數計算的t矩陣每行的最小值，最大值
作用：將矩陣pn，tn映射回歸一化處理前的範圍。postmnmx函數主要用於將神經網絡的輸出結果映射回歸一化前的數據範圍。
2. 使用Matlab實現神經網絡
使用Matlab建立前饋神經網絡主要會使用到下面3個函數：
newff ：前饋網絡創建函數
train：訓練一個神經網絡
sim ：使用網絡進行仿真
下面簡要介紹這3個函數的用法。
(1) newff函數
<1>newff函數語法
newff函數參數列表有很多的可選參數，具體可以參考Matlab的幫助文檔，這裏介紹newff函數的一種簡單的形式。
語法：net = newff ( A, B, {C} ,‘trainFun’)
參數：
A：一個n×2的矩陣，第i行元素爲輸入信號xi的最小值和最大值；
B：一個k維行向量，其元素爲網絡中各層節點數；
C：一個k維字符串行向量，每一分量爲對應層神經元的激活函數；
trainFun ：爲學習規則採用的訓練算法。
<2>常用的激活函數
常用的激活函數有：
a) 線性函數 (Linear transfer function)
f(x) = x
該函數的字符串爲’purelin’。
b) 對數S形轉移函數( Logarithmic sigmoid transfer function )
該函數的字符串爲’logsig’。
c) 雙曲正切S形函數 (Hyperbolic tangent sigmoid transfer function )
也就是上面所提到的雙極S形函數。
該函數的字符串爲’ tansig’。
Matlab的安裝目錄下的toolbox\nnet\nnet\nntransfer子目錄中有所有激活函數的定義說明。
<3>常見的訓練函數
常見的訓練函數有：
traingd ：梯度下降BP訓練函數(Gradient descent backpropagation)
traingdx ：梯度下降自適應學習率訓練函數
<4>網絡配置參數
一些重要的網絡配置參數如下：
net.trainparam.goal ：神經網絡訓練的目標誤差
net.trainparam.show ： 顯示中間結果的週期
net.trainparam.epochs ：最大迭代次數
net.trainParam.lr ： 學習率
(2) train函數
網絡訓練學習函數。
語法：[ net, tr, Y1, E ] = train( net, X, Y )
參數：
X：網絡實際輸入
Y：網絡應有輸出
tr：訓練跟蹤信息
Y1：網絡實際輸出
E：誤差矩陣
(3) sim函數
語法：Y=sim(net,X)
參數：
net：網絡
X：輸入給網絡的Ｋ×N矩陣，其中K爲網絡輸入個數，N爲數據樣本數
Y：輸出矩陣Q×N，其中Q爲網絡輸出個數
(4) Matlab BP網絡實例
我將Iris數據集分爲2組，每組各75個樣本，每組中每種花各有25個樣本。其中一組作爲以上程序的訓練樣本，另外一組作爲檢驗樣本。爲了方便訓練，將3類花分別編號爲1，2，3 。
使用這些數據訓練一個4輸入（分別對應4個特徵），3輸出（分別對應該樣本屬於某一品種的可能性大小）的前向網絡。
Matlab程序如下：
%讀取訓練數據 [f1,f2,f3,f4,class] = textread('trainData.txt' , '%f%f%f%f%f',150); %特徵值歸一化 [input,minI,maxI] = premnmx( [f1 , f2 , f3 , f4 ]') ; %構造輸出矩陣 s = length( class) ; output = zeros( s , 3 ) ; for i = 1 : s output( i , class( i ) ) = 1 ; end %創建神經網絡 net = newff( minmax(input) , [10 3] , { 'logsig' 'purelin' } , 'traingdx' ) ; %設置訓練參數 net.trainparam.show = 50 ; net.trainparam.epochs = 500 ; net.trainparam.goal = 0.01 ; net.trainParam.lr = 0.01 ; %開始訓練 net = train( net, input , output' ) ; %讀取測試數據 [t1 t2 t3 t4 c] = textread('testData.txt' , '%f%f%f%f%f',150); %測試數據歸一化 testInput = tramnmx ( [t1,t2,t3,t4]' , minI, maxI ) ; %仿真 Y = sim( net , testInput ) %統計識別正確率 [s1 , s2] = size( Y ) ; hitNum = 0 ; for i = 1 : s2 [m , Index] = max( Y( : , i ) ) ; if( Index == c(i) ) hitNum = hitNum + 1 ; end end sprintf('識別率是 %3.3f%%',100 * hitNum / s2 )
以上程序的識別率穩定在95%左右，訓練100次左右達到收斂，訓練曲線如下圖所示：
圖9. 訓練性能表現
(5)參數設置對神經網絡性能的影響
我在實驗中通過調整隱含層節點數，選擇不通過的激活函數，設定不同的學習率，
<1>隱含層節點個數
隱含層節點的個數對於識別率的影響並不大，但是節點個數過多會增加運算量，使得訓練較慢。
<2>激活函數的選擇
激活函數無論對於識別率或收斂速度都有顯著的影響。在逼近高次曲線時，S形函數精度比線性函數要高得多，但計算量也要大得多。
<3>學習率的選擇
學習率影響着網絡收斂的速度，以及網絡能否收斂。學習率設置偏小可以保證網絡收斂，但是收斂較慢。相反，學習率設置偏大則有可能使網絡訓練不收斂，影響識別效果。
3. 使用AForge.NET實現神經網絡
(1) AForge.NET簡介
AForge.NET是一個C#實現的面向人工智能、計算機視覺等領域的開源架構。AForge.NET源代碼下的Neuro目錄包含一個神經網絡的類庫。
AForge.NET主頁：http://www.aforgenet.com/
AForge.NET代碼下載：http://code.google.com/p/aforge/
Aforge.Neuro工程的類圖如下：
圖10. AForge.Neuro類庫類圖
下面介紹圖9中的幾個基本的類：
Neuron — 神經元的抽象基類
Layer — 層的抽象基類，由多個神經元組成
Network —神經網絡的抽象基類，由多個層（Layer）組成
IActivationFunction - 激活函數（activation function）的接口
IUnsupervisedLearning - 無導師學習（unsupervised learning）算法的接口ISupervisedLearning - 有導師學習（supervised learning）算法的接口
(2)使用Aforge建立BP神經網絡
使用AForge建立BP神經網絡會用到下面的幾個類：
<1> SigmoidFunction ： S形神經網絡
構造函數：public SigmoidFunction( double alpha )
參數alpha決定S形函數的陡峭程度。
<2> ActivationNetwork ：神經網絡類
構造函數：
public ActivationNetwork( IActivationFunction function, int inputsCount, params int[] neuronsCount )
: base( inputsCount, neuronsCount.Length )
public virtual double[] Compute( double[] input )
參數意義：
inputsCount：輸入個數
neuronsCount ：表示各層神經元個數
<3> BackPropagationLearning：BP學習算法
構造函數：
public BackPropagationLearning( ActivationNetwork network )
參數意義：
network ：要訓練的神經網絡對象
BackPropagationLearning類需要用戶設置的屬性有下面2個：
learningRate ：學習率
momentum ：衝量因子
下面給出一個用AForge構建BP網絡的代碼。
改程序對Iris 數據進行分類，識別率可達97%左右 。