LeetCode：292 Nim遊戲 （動態規劃 / 腦筋急轉彎:巴什博弈）

題目描述

你和你的朋友，兩個人一起玩 Nim 遊戲：桌子上有一堆石頭，每次你們輪流拿掉 1 - 3 塊石頭。 拿掉最後一塊石頭的人就是獲勝者。你作爲先手。

你們是聰明人，每一步都是最優解。 編寫一個函數，來判斷你是否可以在給定石頭數量的情況下贏得遊戲。

示例:
輸入: 4
輸出: false
解釋: 如果堆中有 4 塊石頭，那麼你永遠不會贏得比賽；因爲無論你拿走 1 塊、2 塊 還是 3 塊石頭，最後一塊石頭總是會被你的朋友拿走。

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思路 1 動態規劃

（DP會超時）
這題一眼就是DP啊，每一次只能拿1，2，3個，每一次的結果與上一次有關

狀態定義：

dp[i] 表示 先手，剩下i個石頭，能否獲勝

狀態轉移：

// 判斷自己先手的情況下，有i塊能否贏
// 問題變成對面先手，有i-1, i-2, i-3塊 能否贏
// 如果三種拿法，有一種能夠令對手不贏，自己就贏了
dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);

邊界條件
一塊，兩塊，三塊的時候，先手可以直接取勝

dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;

代碼
因爲後臺卡時間限制非常緊，即使O(n)複雜度的dp也會超時，下面會有O(1)常數複雜度的腦筋急轉彎方法

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n)
    {
        vector<bool> dp(n+1);
        dp[1] = true, dp[2] = true, dp[3] = true;
        for(int i=4; i<=n; i++)
            dp[i] = (!dp[i-1] || !dp[i-2] || !dp[i-3]);
        return dp[n];
    }
};

思路 2 腦筋急轉彎

這是一個【巴什博弈】問題，當 n%(m+1) != 0 時可以獲勝

如果石頭的數目是 4 的倍數，就無法取勝

證明：
已知 n=4 的情況無法取勝，因爲無論你怎麼拿，都拿不完

• 如果石頭的數目 = 4的倍數，無論你拿多少塊（你拿了x塊），對手拿 4-x 塊，就可以使總數目 -4，最終石頭的數目會減到4，你輸掉
• 如果石頭的數目 != 4的倍數，你可以拿 1 或 2 或 3 塊石頭，使得石堆數目變爲4的倍數，然後到對面拿，回到情況1

代碼

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n)
    {
        if(n%4==0)
            return false;
        return true;
    }
};