北航軟件工程專業考研991數據結構總結：
六、圖
1．圖的基本概念、名詞術語；
2．圖的鄰接矩陣存儲方法和鄰接表(含逆鄰接表)存儲方法的構造原理及特點；
3．圖的深度優先搜索與廣度優先搜索；
4．最小(代價)生成樹、最短路徑、AOV網與拓撲排序的基本概念。
1．圖的基本概念、名詞術語；
基本概念：
定義：圖是非空有窮頂點的集合 + 頂點之間的關係 構成 G(V,E)，V是頂點的集合，E是邊或弧的集合
分類：
無向圖：(vi, vj)屬於E，必有(vj,vi)屬於E，頂點的前後順序無關
有向圖：<vi, vj>不同於<vj, vi>
網絡：與邊有關的數據稱爲權，邊上帶權的圖叫做網絡
名詞術語：
頂點的度：依附於頂點vi的邊數稱爲度 TD(vi)
有向圖：
入度：以頂點vi作爲終止點的邊數稱爲入度ID(vi)
出度：以頂點vi作爲起始點的邊數稱爲出度OD(vi)
結論：
①、邊數E = 各個頂點的度的總和/2
②、具有n個頂點的無向圖最多有 n(n-1)/2 條邊 每個頂點可以向其他n-1個頂點發出一條邊，n個頂點總邊數 n(n-1)，根據相互性，除以2
③、具有n個頂點的有向圖最多有 n(n-1) 條邊
完全圖：邊數達到最大
稠密圖：邊數達到或者接近最大邊數的圖
稀疏圖：否則。。。
路徑：頂點vx到vy之間有路徑P(vx, vy)的充分必要條件爲：存在頂點序列 vx, vi1, vi2, ... vim, vy，並且序列中相鄰頂點構造的偶對爲圖的一條邊
迴路（環）：出發點與終止點相同的路徑稱爲環，迴路
簡單路徑：頂點序列中頂點不重複出現的路徑叫做簡單路徑
路徑長度：
不帶權的：經過的邊的數目
帶權：經過的邊的權之和
子圖：g(v,e) 是 G(V, E)的子圖，有 v 屬於 V，e屬於E，則g爲G的子圖
圖的連通：
無向圖的連通：頂點vi到vj有路徑，則vi與vj是連通的，圖中任意兩個頂點都是連通的，則圖是連通的
極大連通子圖就是連通分量，連通圖的極大連通子圖就是自己，非連通圖的連通分量不是唯一的
有向圖的連通：頂點vi到vj有路徑並且vj到vi也有路徑，則vi與vj是連通的，圖中任意兩個頂點都是連通的，則圖是強連通的
極大強連通子圖叫做強連通分量，不是強連通圖也可以有相連通分量
生成樹：
連通圖G(V,E)有n個頂點，包含n個頂點，n-1條邊的極小連通子圖叫做G的一個生成樹
特點：
生成樹不含有迴路，如果給生成樹加一條邊，則必然產生迴路，減少一條邊，則必然造成不連通
2、圖的鄰接矩陣存儲方法和鄰接表（含逆鄰接表）存儲方法的構造原理及特點
鄰接矩陣
1）、定義一個一維數組V[0..n-1]存放所有頂點信息；
2）、定義一個二維數組E[0..n01][0..n-1]，存放所有頂點之間的關係，該矩陣就是鄰接矩陣
E[i][j]:值爲1，代表頂點vi,vj之間有邊，值爲0，代表vi,vj之間無邊
對於帶權的圖，有E[i][j]：wij表示邊的權值，無窮大，表示無邊
特點：
①、無向圖的鄰接矩陣一定是對稱矩陣 因爲vi,vj有邊，那麼vj，vi也有邊
②、不帶權的有向圖的鄰接矩陣一般是稀疏矩陣
③、無向圖的第 i 行或者i列 的非0或者非無窮大的元素個數就是頂點 vi 的度
④、有向圖中第 i 行非0或者非無窮的元素個數代表頂點vi的出度
第 i 列非0或者非無窮的元素個數代表頂點vi的入度
鄰接表：
構造：
1）、每個鏈表設置一個頭結點，用來存放一個頂點的數據信息，稱之爲頂點結點
其構造爲 vertex link
vertex存放頂點數據信息，link指向鏈表中的第一個結點地址
n個頭結點之間是一維數組
2）、第i個鏈表中的每一個鏈結點（稱之爲邊結點）表示以第i個頂點爲出發點的一條邊，
其構造爲 adjvex weight next
其中，next指向下一條邊結點，weight爲帶權邊的權值，不帶權的無此數據域，adjvex表示以第i個結點爲出發點的邊的另一端的結點在數組中的位置
特點：
①、無向圖中第i個鏈表中鏈結點的個數就是頂點i的度
②、有向圖中第i個鏈表中鏈結點的個數就是頂點i的出度
③、圖中有n個頂點，e條邊，則 無向圖需要n個頭結點，2e個邊結點
有向圖需要n個頭結點，e個邊結點
無向圖邊結點總數一定是偶數，邊結點個數爲奇數的一定是有向圖
逆鄰接表：第i個鏈表的邊界點表示第i個頂點爲終止點的邊
#define MAXV 最大頂點個數
typedef struct edge{
int adjvex;
int weight;
struct edge *next;
}ELink;
typedef struct ver{
verType vertex;
ELink *link;
}VLink;
VLink G[MAXV]
3、圖的深度優先搜索和廣度優先搜索
深度優先搜索
從某個指定的頂點v出發，先訪問v結點，然後從v頂點的某個未被訪問的鄰接點出發，繼續進行深度優先搜索，直到與v連通的所有頂點都被訪問
如果此時還有未被訪問的結點，則從另一個未被訪問的結點出發，繼續上述，直到遍歷所有結點
算法：
爲了標記某一時刻圖中頂點的訪問情況，需要一個一維數組visited[0..n-1],值爲1表示被訪問過了，值爲0表示未被訪問
算法分析：
n個頂點，e條邊，採用鄰接表存儲，時間複雜度O(n+e)，採用鄰接矩陣存儲，時間複雜度O(n^2)
深度優先 中序遍歷類似
廣度優先搜索
從某個指定的頂點v出發，先訪問v結點，然後依次訪問頂點v未被訪問過的鏈結點，再從該結點出發，按照同樣的規則訪問它們的鏈結點，直到與v連通的頂點都被訪問
如果此時還有未被訪問的結點，則從另一個未被訪問的結點出發，繼續上述，直到遍歷所有結點
廣度優先 按層遍歷
4、最小（代價）生成樹，最短路徑，AVO網與拓撲排序的基本概念
最小代價樹：帶權連通圖中，總的權值之和最小的帶權生成樹稱爲最小生成樹，也叫最小代價樹，最小花費樹
原則：
1）、只能利用圖中的邊構造；
2）、只能使用且僅能使用圖中的n-1條邊來構造；
3）、不能使用圖中產生迴路的邊
最短路徑：
AOV網 有前驅和後繼
拓撲排序：先從沒有入度的結點開始
刪除該結點及所有邊
繼續進行，直到爲空，或者不存在沒有入度的結點（有迴路）