北航软件工程专业考研991数据结构总结：
五、树与二叉树
1．树与二叉树的基本概念，基本特征、名词术语；
2．完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质及其应用；
3．二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结的基本原理；
4．二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历和按层次遍历，重点是二叉树在以二叉链表作为存储结构基础上各种遍历算法(包括非递归算法)的设计与应用；
5．二叉排序树的基本概念、建立(插入)、查找以及平均查找长度ASL的计算。
1、树与二叉树的基本概念，基本特征，名词术语
基本概念：
树的定义：结点的集合 + 节点之间关系的集合
n >= 0个数据组成的结构及其之间的关系。n = 0 成为空树，只有一个根节点，除了根节点每个节点只有一个直接前驱，但是有多个直接后继。
任何一棵非空树中，有一个特殊节点t属于结点集合D，称为根节点，其余节点被分为m个子集 D1, D2, D3 ... 每个子集又是一棵树，称为t的子树。
基本特征：
1）、有且仅有一个节点没有前驱结点，为该树的根节点；
2）、除了根节点之外，每个节点有且仅有一个前驱结点；
3）、包括根结点在内，每个节点可以有多个后继节点；
一对多的关系。
名词术语：
1）、结点的度：该节点拥有的子树；
2）、树的度：树中所有结点的度的最大值；
3）、叶结点：度为0的结点；
4）、分支结点：度不为0的结点；
5）、层：根结点在第一层，其余结点若在第i层，则其孩子结点在第i+1层；
6）、树的深度：结点所处的最大层数；
7）、树林（森林）：m >= 0 棵不相交的子树组成的树的集合；
8）、树的有序性：若结点的相对位置不能随意改变，有序树，否则，无序树；
二叉树：
定义：结点 + 结点的关系构成的集合。
要么是一棵空树，要么是一棵包含根结点，以及两颗不相交的，分别称为左子树，右子树的二叉树。
基本特征：
要么是空树，要么只有根结点，要么有一个左子树，右子树空，要么一棵右子树，左子树空，要么两个非空左右子树。
2、完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质及应用
满二叉树：要么没有，要么有两个孩子节点，且度为0的节点都在最后一层。FULL
完全二叉树：为了顺序存储的方便，最下面两层可以度为0，并且最后一层必须从左至右排列。
如果排除最后一层，就是一棵满二叉树。
性质：
1）、n个结点的非空二叉树有n-1个分支；每个结点除了根结点外，都只有一条到直接前驱的分支，故分支总数就是n-1；
2）、非空二叉树i层最多有2^(i-1)个结点；
3）、深度为h的非空二叉树最多有 2^h -1 个结点；
4）、n0 = n2 + 1; n = n1 + n2 + n0; B = n-1; B = n1 + 2n2;
5)、具有n个结点的非空完全二叉树的深度h = [log2 n] + 1; []取整
6）、完全二叉树的编号问题，从上到下，从左到有进行编号，则：
①、若i = 1，则i号结点为根结点；
若i > 1，则i号结点的双亲结点的编号为[i/2];
②、若2i > n，则编号为i的结点没有左子树；
若2i <= n，则编号为i的结点的左孩子编号为2i；
③、若2i+1 > n，则编号为i的结点没有右子树；
若2i+1 <= n，则编号为i的结点右孩子编号为2i+1;
3、二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结构的基本原理
顺序存储结构
1）、完全二叉树的顺序存储结构
按照编号依次存储到一维数组[0..2^n-2]中，编号与数组下标一一对应
2）、一般二叉树的顺序存储结构
构造不存在的虚结点，使其成为一棵完全二叉树，在用一维数组[0..2^n-2]存储即可
二叉树的链式存储（二叉链表）
链节点 lchild data rchild data为数据域，lchild为左子树指针，rchild为右子树指针
typedef struct node{
int data;
struct node *lchild, *rchild;
}BTNode, *BTree;
4、二叉树的前序遍历，中序遍历，后序遍历，按层遍历，重点是二叉树按二叉链表为存储结构的各种遍历算法（包括非递归算法）的设计与应用
概念：按照一定的原则（顺序）对二叉树中的结点进行访问（且仅访问一次），得到一个二叉树所有结点做成的序列，这个过程叫做二叉树的遍历
前序遍历：
原则：若二叉树非空，访问根节点；
以前序遍历原则遍历根结点的左子树；
以前序遍历原则遍历根结点的右子树；
递归算法：
void PreOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
visit(t);
PreOrder(t->lchild);
preOrder(t->rchild);
}
}
中序遍历：
原则：若被遍历的二叉树非空；
以中序遍历原则遍历根结点的左子树；
访问根结点；
以中序遍历原则遍历根结点的右子树；
递归算法：
void InOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
InOrder(t->lchild);
visit(t);
InOrder(t->rchild);
}
}
后序遍历：
原则：若被遍历的二叉树非空；
以后序遍历原则遍历根结点的左子树；
以后序遍历原则遍历根结点的右子树；
访问根结点；
递归算法：
void PostOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
PostOrder(t->lchild);
PostOrder(t->rchild);
visit(t);
}
}
按层次遍历：
非递归算法的设计：
以中序遍历为例：
STACK[0..M-1] 保存遍历过程中结点的地址；
top指针，栈顶指针，初始-1；
p 遍历过程中指向结点的指针，初始指向根结点
描述：
1）、若p指向结点非空，则将p进栈，然后p指向左子树根结点；
2）、若p指向为空，则将栈顶元素退栈赋值给p，访问该结点，然后将p指向右子树的根；
3）、重复上述过程，直到p为空，栈为空。
算法：
void InOrder(BTree t)
{
BTree Stack[M];
int top = -1;
BTree p = t;
do
{
while(p != NULL)
{
Stack[++top] = p;
p = p->lchild;
}
p = Stack[top--];
visit(p);
p = p->rchild;
}while(p != NULL || top != -1)
}
4、二叉排序树的基本概念，建立（插入），查找以及平均查找长度ASL的计算
基本概念：
定义：二叉排序树或者是空树，或者具有下列性质：
若根结点左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值；
若根结点右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于或者等于根结点的值。
建立（插入）逐点插入：
设K具有n个元素，没取一个元素，按照下述原则进行插入：
若二叉树为空，则将该元素作为根结点；
若不为空，则与根结点进行比较，若小于根结点的值，则插入左子树，若大于根结点，则插入右子树，插入子树的时候也遵循这一原则
void InsertBST(BTree *t, int item)
{
BTree p, q;
p = (BTree)malloc(sizeof(BTNode));
p->data = item;
p->lchild = NULL;
p->rchild = NULL;
if (*t == NULL)
*t = p;
else
{
q = *t;
while(1)
{
if(item < q->data)
{
if(q->lchild == NULL)
{
q->lchild = p;
break;
}else
{
q = q->lchild;
}
}
else
{
if(q->rchild == NULL)
{
q->rchild = p;
break;
}
else
{
q = q->rchild;
}
}
}
}
}
查找
过程：
1）、若二叉树为空，则查找失败，结束；
2）、若二叉树非空，将要查找的值与根结点的值进行比较，如果相等，则返回根结点的链地址，查找成功，结束；
3）、若要查找的值小于根结点的值，则到根结点的左子树中继续上述查找；
4）、若要查找的值大于根结点的值，则到根结点的右子树中继续上述查找；
5）、知道查找成功或失败。
BTree SortSearch(BTree t, int data)
{
BTree p = t;
while (p != NULL)
{
if (p->data == data)
return p;
else if (p->data > data)
p = p->lchild;
else
p = p->rchild;
}
return NULL;
}
平均查找长度ASL
与二叉树的形态有关；
平均查找长度ASL：确定一个元素在树中的位置所需要进行比较次数的期望值
内路径长度：从根结点到某节点所经过的分支数目叫做该结点的路径，内路径是所有结点的路径之和 IPL Internal Path Length
外路径长度：将二叉树的叶结点进行补充，用方块表示，得到的所有外部结点的路径之和为外路径长度 EPL External Path Length
如果二叉树有n个结点，则补充之后有n+1个外部结点
EPL = IPL + 2n
比较次数是结点路径 + 1
ASL = （IPL + n）/n
查找不成功时，比较次数就是外路径长度
ASL = （EPL）/n = （IPL + 2n）/n
最后，成功与不成功的统一ASL
（IPL + n + EPL）/(n + n + 1) = (2IPL + 3n) / (2n+1)
最佳二叉排序树，内路径最小 O(log2N)
最坏情况下，与顺序相同 (n+1)/2，相当于一棵单支二叉树