HJQ巨佬のTwelveFold Way 手稿电子版

心中满怀着对HJQ巨佬的无限敬仰，把HJQ巨佬的tfw手稿敲成了电子版，在内容和排版上基本上遵从了巨佬笔记的原样 —— cppascalinux 的小迷弟 GGN_2015

$n$ 个球放入 $m$ 个盒的方案数 ($A \to B$的映射数，$|A|=n, |B|=m$)

定义了一些标记：

1.无限制
2 B中每个元素至多一个原象(每个盒子至多一个球)
3.B中每个元素至少一个原象(每个盒子至少一个球)

a. 球、盒都有编号（有一对对应不同即视为不同）（直接比较）
b. 球有编号、盒无编号（每个象对应原象集合所构成的集合不同视为不同）（排序比较）
c.球无编号、盒有编号（每个象对应的原象个数构成的数列不同视为不同）（比较球的个数）
d.球、盒均无编号（每个象对应的原象个数构成的可重集合不同视为不同的映射）（比较球的个数（排序后的））

	a	b	c	d
1	$m^n$	$\sum_{i=0}^mS_n^i$	$C_{n+m-1}^{m-1}$	$P_m(m+n)$
2	$C_m^n\cdot n!$	$[n \leq m]$	$C_m^n$	$[n\leq m]$
3	$S_n^m\cdot m!$	$S_n^m$	$C_{n-1}^{m-1}$	$P_m(n)$

注：

$S_n^m$：第二类斯特林数：将大小为$n$的集合划分为$m$个非空集合构成的集合的方案数。

$P_m(n)$：整数拆分数：将整数$n$拆分成$m$个正整数之和的方案数。

$[ \space \space \space]$：艾弗森括号：括号内条件为真即为$1$，为假即为$0$。

感谢 HJQ 巨佬，以下是原图。