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一、基本概念
在信息傳輸中，由於多種原因，可能造成數據出現錯誤。信息接收方常常需要對接收到的信息進行數據校驗（檢錯和糾錯）。常用的數據校驗方法有奇偶校驗、CRC校驗、海明校驗等。
1.碼距的概念：
- 兩個二進制數的碼距：兩個二進制數進行位的異或運算後，得到的二進制數裏，位值爲1的個數，也就是兩個二進制數對應位位值不相同的個數。
- 編碼的最小碼距：同一編碼中，任意兩個合法編碼之間不同二進數位數（即碼距）的最小值。
- 碼距越大，抗干擾能力越強，糾錯能力越強，數據冗餘越大，編碼效率越低。編碼時，選擇碼距必須考慮信息發生差錯的概率和系統能容許的最小差錯率。
2.校驗編碼
校驗編碼：在原始的二進制數（有效數據）中按照一定原則增加冗餘項（校驗數據）得到新的數據，並作爲實際傳輸中的數據。即，通過增加校驗位，進而增加碼距，以便校驗數據。
3.碼距和校驗的關係
- 在一個碼組內爲了檢測e個錯位的誤碼，要求最小碼距d應該滿足： d>=e+1；
- .在一個碼組內爲了糾正t個錯位的誤碼，要求最小碼距d應該滿足： d>=2t+1。
二、奇偶校驗
1.基本原理
奇偶校驗（Parity Check）利用在信息後面附加一個奇偶校驗位來進行校驗。
事先通信雙方約定是採用奇校驗還是偶校驗，假設採用偶校驗，則發送方在信息後面附加一位使所有信息（包括校驗位）中一共有偶數個1，在接收方檢驗信息中1的個數，若爲奇數個則判定出錯。
優點：編碼簡單，實現方便；
缺點：碼距爲2，只能檢錯不能糾錯，當發生偶數個錯誤時，不能檢測出來。
2.雙向奇偶校驗
爲此，發展出了二維的雙向奇偶校驗。將要發送的d位數組成m行n列的二維矩陣，並使用m+n+1個校驗位編碼。碼距上升爲4，可糾正1位錯誤。
三.CRC校驗
循環冗餘編碼（Cyclic Redundancy Check，又稱多項式編碼）是數據通信領域中最常用的一種查錯校驗碼，其特徵是信息字段和校驗字段的長度可以任意選定。相比於奇偶校驗碼只能校驗一位錯誤，循環冗餘校驗碼（CRC）的檢錯能力更強，可以檢測出多處錯誤。
1.模2除運算規則
2.基本原理
3.編碼方法
4.檢錯方法
5.糾錯方法
基本方法：根據特定碼制、特定生成多項式確定一個出錯餘數表，即CRC碼不同位的出錯在驗證時都會得到不同的餘數，對照餘數表就可以確定是哪一位出錯了。
循環糾錯法
但這都只是一位出錯的糾錯，多位糾錯就不太清楚了。
四、海明校驗
1.基本原理
海明碼（Hamming Code）是一個可以有多個校驗位，具有檢測並糾正一位錯誤代碼的糾錯碼，所以也僅用於信道特性比較好的環境中，如以太局域網。它的檢錯、糾錯基本思想如下：
（1）將有效信息按某種規律分成若干組，每組安排一個校驗位通過異或運算進行校驗，得出具體的校驗碼。
（2）在接收端同樣通過異或運算看各組校驗結果是否正確，並觀察出錯的校驗組，或者多個出錯的校驗組的共同校驗位，得出具體的出錯比特位。
（3）對錯誤位取反來將其糾正。
2.確定校驗碼位置
海明碼的校驗碼的位置必須是在2n次方位置（n從0 開始，分別代表從左邊數起分別是第1、2、4、8、16……），信息碼也就是在非2n次方位置。
3. 確定校驗碼
校驗位置選擇原則：第i位校驗碼從當前校驗碼位開始，每次連續校驗i位後再跳過i位，然後再連續校驗i位，再跳過i位，以此類推。確定每個校驗碼所校驗的比特位：
P1校驗碼位校驗的碼字位爲：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。
P2校驗碼位校驗的碼字位爲：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。
最後每組通過異或邏輯運算（與偶校驗原理一樣），使每組的運算結果爲0，即可得出第i位校驗碼的值。
4. 編碼舉例
5.特點分析
總結
還在學習，有待補充。
有問題請留言。
參考資料
- 計算機組成原理_華科https://www.icourse163.org/course/HUST-1003159001
- 詳解差錯控制之碼距、檢錯與糾錯
https://blog.csdn.net/suchto/article/details/7382366?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task - 差錯檢測和糾錯技術
https://blog.csdn.net/dillon2015/article/details/54290068 - CRC差錯校驗原理及實例
https://blog.csdn.net/qq_35409955/article/details/71698920 - 史上最通俗的海明碼編碼計算、檢錯和糾錯原理解析
https://blog.csdn.net/lycb_gz/article/details/35976723