凸包问题:Gift Wrapping礼品包装算法

凸包问题:Gift Wrapping算法

凸包问题

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。简而言之，就是给定平面点集，找出该点集中最外圈的点构成凸多边形，使得该平面点集中所有的点都在该凸多边形内或该多边形边上。
正如上图所示，红色圈圈部分就是该平面点集的凸包。

凸包问题算法

凸包问题的解法一般有如下几种：
穷举法（蛮力法） O(n³)
分治法 O(nlogn)
Graham扫描法 O(nlogn)
jarvis步进法 O(nH)(H是凸包上点的个数)
Gift Wrapping礼品包装算法 O(nlogn)
关于前五种算法，下面这个博客已经写的很清晰了：
https://blog.csdn.net/baningtao1470/article/details/101077108?utm_source=app
我再记录一下Gift Wrapping算法。

Gift Wrapping算法

基本思路：
先确定一个肯定在凸包上的点P0，然后由此出发寻找下一个凸包上的点P1，直到确定凸包上的点是P0为止。
可以把这个过程形象化的理解为小时候往钉子板上圈皮筋的过程，先把皮筋固定在一个钉子上，然后再绕一个钉子，直到最后把皮筋绑在最开始固定的那个钉子上，也就形成了一个圈。
第一：怎么确定一个必在凸包上的点？
可以想象，在该平面点集中最远的点必在凸包上。怎么去想这个最远，可以是最上，可以是最下，也可以是最左，也可以是最右，我的实现过程选择的是最左下，只需要对平面点集遍历一遍，找到横座标最小的那个点，如果横座标相等，那么就选择纵座标较小的即可。
第二，怎么确定由已知点确定下一个点？
可以利用极角，也可以利用向量的叉乘来做。我们去观察下一个点的特点：假如以已知点为极座标原点，那么下一个点则是极角最小的那个点。
接下来考虑怎么求极角，这就不细说了，高中数学知识，下面有代码实现，假设当前点(x₁,y₁)，考察点(x₂,y₂)，求cos，求sin，求tan，最后在用arc就能知道角度，我用的是Matn.atan()，要注意的是记得根据点所在的象限分类讨论。
第三，如果由共线的情况，那么这些共线的点的极角相同，该怎么处理？
这要看你需要求的是最小凸包还是最大凸包了，如果是最小凸包，那么就选这些点中与已知点距离最大的那一个；如果是最大凸包，那么就选与已知点距离最小的那一个。我在实现的时候，用了一个动态栈来保存可供选择的点：如果这个找到了一个角度更小的点，清空栈中所有的内容，再将该点放入栈顶；如果角度相等，那么直接入栈。这样如果最后，栈中只有一个元素，那么就是下一个凸包中的点；如果栈中有多个，则这些点共线，再比较距离即可。我觉得这样还挺好 。

    /*Calculate angle 
    a:definite point
    b:investigated point
    if this point is definite point,return -1,as a sign
    */
    public static double calculateConvexHullAngle(Point a,Point b) {
     double cosSign = -2;
     double sinSign = -2;
     double angle = 0;
  cosSign = b.x()-a.x();
  sinSign = b.y()-a.y(); 
  if(cosSign>0 && sinSign>=0)
   angle = Math.toDegrees(Math.atan(sinSign/cosSign));
  else if((cosSign<=0 && sinSign>0)||(cosSign<0 && sinSign<=0))
   angle = Math.toDegrees(Math.atan(sinSign/cosSign))+180;
  else if(cosSign>0 && sinSign<0)
   angle = Math.toDegrees(Math.atan(sinSign/cosSign))+360;
  else if(cosSign==0 && sinSign==0) 
   angle = -1;
  return angle;
    }