2.4.1 對角陣與三角陣

對角線函數

對角陣只有對角線上有非0元素的矩陣稱爲對角矩陣。
對角線上的元素相等的對角矩陣稱爲數量矩陣。
對角線上的元素都爲1的對角矩陣稱爲單位矩陣。

對角線函數diag：

既可以用來生成矩陣，又可以來提取矩陣的對角線元素，其調用格式如下。

1.A=diag(v,k) ：
（1）當v是有n個元素的向量，返回矩陣A是行列數爲n+|k|的方陣。
（2）向量v的元素位於A的第k條對角線上。
（3）K=0 對應主對角線，k>0對應主對角線以上，k<0對應主對角線以下。
2.A=diag(v):
將向量v的元素放在方陣A的主對角線上，等同於A=diag(v,k)中k=0的情況。

A =
     1     0     2     0     5
     5     1     0     5     2
     0     4     5     0     5
     1     2     5     0     4
     5     0     5     3     0

>> diag(A)
ans =
     1 1  5 0 0
>> diag(A,-2)
ans =
     0 2 5
>>> diag(A,1)
ans =
     0  0  0  4

下三角陣的提取tril

（1）L=tril(A): 提取矩陣A的下三角部分
（2）L=tril(A,k):提取矩陣A的第k條對角線以下部分。k=0對應主對角線，k>0對應主對角線以上，k<0對應主對角線以下

>> tril(A)
ans =
     1     0     0     0     0
     5     1     0     0     0
     0     4     5     0     0
     1     2     5     0     0
     5     0     5     3     0
>> tril(A,2)
ans =
     1     0     2     0     0
     5     1     0     5     0
     0     4     5     0     5
     1     2     5     0     4
     5     0     5     3     0

上三角陣的提取函數triu

（1）U=triu(A): 提取矩陣A的上三角部分元素
（2）U=triu(A,k): 提取矩陣A的第k條對角線以上的元素。k=0對應主對角線，k>0對應主對角線以上，k<0對應主對角線以下。

>> triu(A)
ans =
     1     0     2     0     5
     0     1     0     5     2
     0     0     5     0     5
     0     0     0     0     4
     0     0     0     0     0
>> triu(A,3)
ans =
     0     0     0     0     5
     0     0     0     0     2
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0

2.4.2 矩陣的轉置與旋轉

1．矩陣的轉置

’ 它實際上完成的是矩陣的共扼轉置，一般意義上的轉置運算符爲 .’。
當A 是複數矩陣是，A’是共軛轉置，如果實現非共軛轉置，需要採用A.’。

2．矩陣的翻轉和旋轉

（1）矩陣的左右翻轉

調用格式：B = fliplr(A) 將矩陣A左右翻轉成矩陣B。

（2）矩陣上下翻轉函數

調用格式：B=flipud(A) 把矩陣A上下翻轉成矩陣B。

（3）多維數組翻轉函數

調用格式：B=flipdim(A,dim) 把矩陣或多維數組A沿指定維數翻轉成B。

（4）矩陣的旋轉函數

調用格式爲：
B=rot90(A):矩陣B是矩陣A沿逆時針方向旋轉90度得到的。
B=rot90(A,k):矩陣B是矩陣A沿逆時針方向旋轉k*90度得到的(要想順時針旋轉，k取-1)。

>> b=fliplr(A)
b =
     5     0     2     0     1
     2     5     0     1     5
     5     0     5     4     0
     4     0     5     2     1
     0     3     5     0     5
>> c=flipud(A)
c =
     5     0     5     3     0
     1     2     5     0     4
     0     4     5     0     5
     5     1     0     5     2
     1     0     2     0     5
>> d=flipdim(A,3)
d =
     1     0     2     0     5
     5     1     0     5     2
     0     4     5     0     5
     1     2     5     0     4
     5     0     5     3     0
>> e=rot90(A)
e =
     5     2     5     4     0
     0     5     0     0     3
     2     0     5     5     5
     0     1     4     2     0
     1     5     0     1     5

2.4.3 矩陣的逆與僞逆

對於可逆矩陣來說，僞逆和逆結果一樣。
對於不可能逆矩陣，是採用最小二乘的方法求一個近似的逆。

（1）矩陣的逆

理論：對於一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：AB=BA=I (I爲單位矩陣) 則稱B爲A的逆矩陣，當然，A也是B的逆矩陣。
函數調用：求方陣A的逆矩陣可調用函數inv(A)。

（2）矩陣的僞逆

如果矩陣A是一個非滿秩的方陣時（行列式爲零的矩陣不可逆），矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉置矩陣A’同型的矩陣B，使得：ABA=A，BAB=B 此時稱矩陣B爲矩陣A的僞逆，也稱爲廣義逆矩陣。
函數調用：pinv(A)。當一個矩陣不是滿秩的時候,如果要求逆,只能用僞逆函數來求。

>>     A = [1 2 3; 1 2 3; 4 5 6]
    B = inv(A)
    C = pinv(A)
A =
     1     2     3
     1     2     3
     4     5     6
B =
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf
C =
     -0.47222     -0.47222      0.44444
    -0.055556    -0.055556      0.11111
      0.36111      0.36111     -0.22222

2.4.4 方陣的行列式

回顧一下：由n階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱爲方陣A的行列式，記作|A|或detA。
函數調用：d=det(A)，該指令返回方陣A的行列式，並賦給d。若A僅包含整數項，則該結果d也是一個整數。

2.4.5 矩陣的秩與跡

關於矩陣秩的推到可以參照筆記：https://blog.csdn.net/qq_45562910/article/details/104175341

設A=(aij)爲n階矩陣，稱A的主對角線上所有元素的和爲A的跡，記作trace（A）
rank（A） 函數用來求矩陣A的秩，表示矩陣A中不爲零的子式的最大階數。

2.4.6 向量和矩陣的範數

1．向量範數

在一維空間中，實軸上任意兩點距離用兩點差的絕對值表示。

絕對值是一種度量形式的定義。

範數是對函數、向量和矩陣定義的一種度量形式。任何對象的範數值都是一個非負實數。
使用範數可以測量兩個函數、向量或矩陣之間的距離。
向量範數是度量向量長度的一種定義形式。

p-範數。

若x=[x1,x2,…,xn] ^T 那麼║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+…+|xn|^p)^{1/p}，可以驗證p-範數確實滿足範數的定義。
當p取1，2，∞的時候分別是以下幾種最簡單的情形：
- 1-範數：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ ；
- 2-範數 ：║x║2=(│x1│²+│x2│²+…+│xn│²)^1/2 ；
- ∞-範數：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 。
  其中2-範數就是通常意義下的距離。
函數調用：
n = norm(X,inf)：求向量X的無窮-範數；
n = norm(X,1)：求向量X的1-範數；
n = norm(X,-inf)：求向量X的絕對值的最小值；
n = norm(X, p)：求向量X的p-範數；
n = norm(X,2)：求向量X的2-範數。

2．矩陣範數

一個在m* n的矩陣上的矩陣範數(matrix norm)是一個從m* n 線性空間到實數域上的一個函數，記爲||•||，它對於任意的m*n矩陣A和B及所有實數a。矩陣是四種，相比較向量，多一個F範數。
滿足以下四條性質：
 ||A||>=0；
 ||A||=0 iff A=O （零矩陣）; （1和2可統稱爲正定性）；
 ||aA||=|a| ||A||; （齊次性）；
 ||A+B||<= ||A|| + ||B||. （三角不等式）。

ps：在一些教科書上定義的矩陣範數是對於二階矩陣的，這種定義往往要求矩陣滿足相容性，即||AB||<=||A|| ||B||. （相容性）。
對於矩陣範數的定義僅要求前4條性質，而滿足第5個性質的矩陣範數稱爲服從乘法範數。
矩陣範數的函數調用：
n = norm(A)：求矩陣A歐幾里德範數，等於A的最大奇異值；
n = norm(A,1)：求矩陣A的列範數，等於A的列向量的1-範數的最大值；
n = norm(A,2)：求A的歐幾里德範數，和norm(A)相同；
n = norm(A,inf)：求矩陣A的行範數，等於A的行向量的1-範數的最大值即：max(sum(abs(A’)))。
n = norm(A, ‘fro’ )：求矩陣A的Frobenius範數，矩陣元p階範數估計需要自己編程。
（範數這裏因爲沒有遇到具體的應用，所以我自己也不太明白其中的曲折）

2.4.7 矩陣的條件數

用矩陣及其逆矩陣的範數的乘積表示矩陣的條件數，由於矩陣範數的定義不同，因而其條件數也不同，但是由於矩陣範數的等價性，故在不同範數下的條件數也是等價的，一般取2-範數。矩陣條件數的大小是衡量矩陣“壞”或“好”的標誌。
cond(A)稱作矩陣A的條件數，爲矩陣A的範數與A的逆矩陣的範數的乘積。

調用：

cond(A,1) 計算A的1—範數下的條件數。
cond(A)或cond(A,2) 計算A的2—範數數下的條件數。
cond(A,inf) 計算A的 ∞—範數下的條件數。
（和範數一樣我也不太明白）

2.4.8 矩陣的特徵值與特徵向量

回顧一下：對於任意方陣A，首先求出方程|λE-A|=0的解，這些解就是A的特徵值，再將其分別代入方程（λE-A）X=0中，求得它們所對應的基礎解系，則對於某一個λ，以它所對應的基礎解係爲基形成的線性空間中的任意一個向量，均爲λ所對應的特徵向量。（如果這裏有遺忘可以參照筆記：https://blog.csdn.net/qq_45562910/article/details/104178703）
函數調用：
格式：[V,D] = eig(A)
說明：其中D爲特徵值構成的對角陣，每個特徵值對應於V矩陣中列向量（也正是其特徵向量），如果只有一個返回變量，則得到該矩陣特徵值構成的列向量。
按上述說明，在MATLAB輸入： [V,D] = eig(A) 即可求出結果。

A =
     1     2     3
     1     2     3
     4     5     6
>> [V,D]=eig(A)
V =
      0.37005      0.52007      0.40825
      0.37005      0.52007      -0.8165
      0.85213     -0.67753      0.40825
D =
       9.9083            0            0
            0     -0.90833            0
            0            0   2.0095e-17

matlab的一些考點2.4矩陣函數（內容比較多具體定位目錄）

矩陣函數