小數在內存中是如何存儲的？

小數在內存中是如何存儲的？

文本關鍵字：小數、float、double、浮點數、精度

一、IEEE 754（二進制浮點數算術標準）

在學習進制轉換時，我們瞭解到：我們經常使用的十進制數是轉換爲二進制進行存儲的，只需要按照順序將轉換後的結果放在對應的位置上就行了。其實小數的存儲也是基於二進制的，不過由於小數由整數部分和小數部分組成，爲了方便表示和比較，會使用另外的方式來存儲。
IEEE 754是最廣泛使用的浮點數運算標準，在標準中規定了四種表示浮點數值的方式：

• 單精度：32位 - 4字節
• 雙精度：64位 - 8字節
• 延伸單精度：43+
• 延伸雙精度：79+
  對於進制轉換不清楚的同學可以進傳送門：進制之間如何轉換？

  1. 存儲結構

  小數在內存中的存儲由三部分組成，分別是符號、階碼（或稱指數）、尾數。符號位我們很熟悉，只佔一位，並且出現在最高位，0爲正，1爲負。

• 單精度：符號1位，階碼8位，尾數23位
• 雙精度：符號1位，階碼11位，尾數52位
• 延伸精度很少使用，不做介紹

2. 存儲方式

一個十進制的小數在進行存儲時，首先要將整數部分與小數部分都轉換爲二進制，然後再整理成類似科學技術法的形式，即：移動小數點，使得小數點的左邊只有一位，並且只可能爲1（因爲是二進制），小數點右側的部分即爲尾數部分，移動小數點的位數將會被記錄在指數部分中。爲了能夠透徹的理解十進制小數轉化存儲在內容中的過程，我們還需要了解一個概念：階碼。

二、階碼（指數）

1. 定義

對於一個二進制數，我們總可以把它整理成：尾數 ✖️ 2的P次方的形式，其中P就被定義爲階碼，我們也可以認爲2是底數，P爲指數，以整數形式表示。

2. 爲什麼小數被稱作浮點數？

• 定點小數

在早期計算機中，爲了節省硬件資源，階碼P的值是被固定的，那麼小數的表示形式也同時被固定了。規定第一位爲符號位，小數點固定在第一位後面，這種小數是純小數，被稱爲定點小數。

• 浮點小數

與定點小數相對的，如果階碼P可變，那這種小數表示法就被稱爲浮點表示，這樣的數也就被稱爲浮點數了。更爲重要的一點，P指明瞭小數點的位置。

3. 移碼

明白了階碼的概念，也瞭解了浮點數的前世今生，那麼我們大費周章的說這個概念幹什麼呢？沒錯，重點來了，就是爲了這個移碼的碼制。在進行小數點移動時，需要先將十進制數轉換爲二進制，再去移動小數點，保證小數點左側只有一位，且數值爲1。

• 對於絕對值大於2的數，這個時候我們向左移動小數點，對應的指數爲正數；
• 對於一個絕對值小於1的數，這個時候我們向右移動小數點，對應的指數爲負數；
• 絕對值在1和2之間的數嘞？這個時候不用移動好叭。。。

那麼問題就來了，我們的指數有的時候正，有的時候負。But！更爲嚴重的問題是，在指數部分對應的區間並沒有符號位這個東西，最前面的符號位代表的是小數本身的正負，這就使得存儲和比較都變得困難，所以我們希望通過一種修正的方式避開正負號的問題。怎麼做呢？以float爲例，指數部分長度爲8。
原有帶符號位的8個bit的存儲範圍是-128 ~ 127（不明白的同學可以進傳送門爲什麼一個byte的存儲範圍是-128~127？），也就是說可以記錄-128次方到+127方之間的所有指數值。如果忽略符號位，把它也當做一個數據的存儲位，那麼範圍就是0~255，我們取這個數的一半作爲修正值，即：127，把每次移動小數點後獲得的指數值都加上127。

• 小數點向左移動3位，對應的指數爲+3，存入指數部分的值即爲130的二進制表示
• 小數點向右移動2位，對應的指數爲-2，存入指數部分的值即爲125的二進制表示

這樣的好處就是避開了符號的問題，同時，原有的指數的值也得到的了保存，取出的時候減掉127就好了。那麼直觀的講，原來的範圍是-128 ~ 127，加上127之後範圍應該變成-1 ~ 254，貌似對應關係有問題呀~這其實是一個很簡單的二進制換算問題，對於有符號數，最高位爲符號位，用1代表負數，-128的補碼爲：1000 0000，但是這在無符號數眼裏的值爲128，-1的補碼爲：1111 1111，但是在無符號數眼裏值爲255。所以我們不能直接通過加減法得出這個取值範圍，而應該結合二進制存儲的規則（不明白的同學可以二進傳送門查看補碼相關的知識：爲什麼一個byte的存儲範圍是-128~127？）。

三、小數的進制轉換

說了這麼久，我們用幾個例子來給大家演示一下，會給大家列出小數在內存中存儲的完整表示，在這之前還是需要先學習一下十進制小數應該怎麼轉換爲二進制（讀者內心：我太難了。。。）。

1. 十進制轉二進制

小數分爲整數部分和小數部分，整數部分的轉換照常進行，不斷的除2得到，小數部分剛好是不斷的乘2得到，一直到小數部分爲0，或者已經達到了對應的精度，以69.3125爲例。

• 整數部分：69 = 64 + 4 + 1 = 2^6 + 2^2 + 2^0
  • 對應的二進制數爲：0100 0101
• 小數部分：轉換過程如下 -> 不斷乘2，取出結果中的整數部分
  • 對應的二進制數爲：0101

• 最終轉換結果：0100 0101.0101

  2. 二進制轉十進制

  由二進制轉換爲十進制比較簡單，就是運算規則做相反的運算，整數部分是做除法得到的，那麼轉換回去的時候就是做乘法，小數部分是做乘法得到的，那麼轉換回去的時候就做除法，以0100 0101.0101爲例。

• 整數部分：2^6 + 2^2 + 2^0 = 64 + 4 + 1 = 69
• 小數部分：0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 1 x 2^-4 = 0.3125

可以看到規律其實是統一的，就是從左至右根據二進制數乘以2的n次方，從左至右n的值不斷遞減，在個位處，n的值爲0，進入小數部分n的值爲負數，在運算上的體現爲除法。

3. 小數在內存中的存儲表示

• 99.9

9.9的二進制表示：1100011.111001100110011001100110011001100110011001101。現在我們需要將小數點左移6位，對應的指數值爲+6。此時小數點右側的位數爲51位，這些將會被存放在尾數部分，如果使用double類型可以將數據全部記錄，但是如果使用float類型，由於尾數部分只有23位，所有隻能記錄部分的數據，誤差也就產生了！
整理一下，符號位爲0，指數部分爲6+127=133，尾數部分直接丟進去，能裝多少裝多少，以float爲例。
最終表示爲：0 10000101 10001111100110011001100

• 0.226

0.226的二進制表示：0.0011100111011011001000101101000011100101011000000100001。此時小數點需要右移3位，對應的指數值爲-3，剩下的尾數部分同樣能塞多少塞多少。
整理一下，符號位爲0，指數部分爲-3+127=124，以float爲例。
最終表示爲：0 1111100 11001110110110010001011

四、float與double

1. 精度範圍

從上面的例子我們可以看到，當一個小數在存儲的過程中，誤差就已經產生了，而且由於是轉換爲二進制存儲，我們很難對所有的小數進行判斷是否在存儲時丟失了精度。看下面幾個例子：

    public static void main(String[] args) {
        Float f1 = 99.99999f;
        System.out.println(f1);// 輸出結果：99.99999
        // 貌似很正常啊，其實float的內心慌的一批
        Float f2 = 99.999999f;
        System.out.println(f2);// 輸出結果：100.0
        // 此時終於暴露了吧？在存儲時就已經丟失了精度，在參與小數計算時更加暴露無遺
    }

• float精度：小數點後6~7位
• double精度：小數點後15~16位

丟失精度的原因經過上面的分析和例子相信大家應該很清楚了，我們按照常規流程進行二進制轉換後得到的尾數部分可能很長，但是以單精度或雙精度進行存儲時只能存儲一部分，那麼必然導致精度的丟失。

2. 解決精度不足

float和double作爲基本數據類型使用起來當然是比較方便，但是精度的問題會造成不準確，雖然我們可以通過使用保留幾位小數的方式勉強應對，但是爲了保證高精度通常會使用BigDecimal，具體用法不在此贅述，將在後續文章中說明。

3. 與長整型的比較

我們在接觸基本數據類型的時候曾經碰到過一個大哥大，曾以爲能夠裝進去很大很大的整數，畢竟是8字節的身材，但是仔細那麼一比較，存儲範圍竟然還比不過4字節的float，更不要說同等身材的double了。

• long的存儲範圍：-2^63 ~ 2^63 - 1
• float：-2^128 ~ 2^128
• double：-2^1024 ~ 2^1024

以上數據只是表示一個量級，不能代表浮點數的精確範圍，不過這也足夠碾壓long類型了，以至於long類型可以隱式轉換爲float，這就解決了我們的一個疑問，爲什麼4字節的float存儲範圍比8字節的long類型還要大？自然是存儲方式不同。