[NOI2010]海拔【對偶圖優化網絡流】

題目鏈接 P2046 [NOI2010]海拔

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  如果按照原圖的方法直接跑最大流來求最小割，那麼500*500個點的跑網絡流，必然是TLE的，所以這裏引入對偶圖優化。

  首先，我們要知道一些前置知識。

平面圖

  指點和邊之間有一種連法，使得邊與邊之間沒有交點。

如圖就是一個合理的平面圖

這就不是一個合理的平面圖，因爲有兩條線有一個交點。

  於是，在滿足平面圖的情況下，我們就可以構建對偶圖了。

對偶圖優化網絡流

  在已知圖是一張平面圖的情況下，對於每個密閉空間，我們可以將它看成一個點，也就是題中有N*N個點。

  現在就是要把原圖中的邊利用上，我們將原來的點（個點）變成了N * N個點，這仍然還沒有考慮原圖中的邊應該怎樣變化？

  我們可以把原圖中的邊也順時針旋轉90度，於是就變成了封閉空間指向封閉空間的形式，當然封閉空間最外面的有起點S和終點T了。

  然後根據原圖中網絡流的最大流的流向，我們可以確定S爲對偶圖的右上角，T爲對偶圖的左下角。

  最後，也就是怎樣確定答案呢？根據定理，我們直接跑從S到T的最短路，最短路的值也就是此時最小割的值了。

  對偶圖的最短路 == 原圖的最大流（最小割）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 25e4 + 7;
int N, head[maxN], cnt, S, T;
inline int _ID(int x, int y) { return (x - 1) * N + y; }
struct Eddge
{
    int nex, to; ll val;
    Eddge(int a=-1, int b=0, ll c=0):nex(a), to(b), val(c) {}
}edge[maxN << 3];
inline void addEddge(int u, int v, ll w)
{
    edge[cnt] = Eddge(head[u], v, w);
    head[u] = cnt++;
}
ll dis[maxN];
struct node
{
    int id; ll val;
    node(int a=0, ll b=0):id(a), val(b) {}
    friend bool operator < (node e1,  node e2) { return e1.val > e2.val; }
};
priority_queue<node> Q;
ll Dijkstra()
{
    dis[S] = 0; Q.push(node(S, 0));
    while(!Q.empty())
    {
        node now = Q.top(); Q.pop();
        int u = now.id;
        if(dis[u] < now.val) continue;
        for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
        {
            v = edge[i].to;
            if(dis[v] > dis[u] + edge[i].val)
            {
                dis[v] = dis[u] + edge[i].val;
                Q.push(node(v, dis[v]));
            }
        }
    }
    return dis[T];
}
inline void init()
{
    S = N * N + 1; T = S + 1; cnt = 0;
    for(int i=1; i<=T; i++) { head[i] = -1; dis[i] = INF; }
}
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    init();
    for(int i=1, w; i<=N + 1; i++) //from West to East
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(i == 1) addEddge(S, j, w);
            else if(i == N + 1) addEddge(_ID(N, j), T, w);
            else addEddge(_ID(i - 1, j), _ID(i, j), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N; i++) //from North to South
    {
        for(int j=1; j<=N + 1; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(j == 1) addEddge(_ID(i, 1), T, w);
            else if(j == N + 1) addEddge(S, _ID(i, N), w);
            else addEddge(_ID(i, j), _ID(i, j - 1), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N + 1; i++) //from East to West
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(i == 1) addEddge(j, S, w);
            else if(i == N + 1) addEddge(T, _ID(N, j), w);
            else addEddge(_ID(i, j), _ID(i - 1, j), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N; i++) //from South to North
    {
        for(int j=1; j<=N + 1; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(j == 1) addEddge(T, _ID(i, 1), w);
            else if(j == N + 1) addEddge(_ID(i, N), S, w);
            else addEddge(_ID(i, j - 1), _ID(i, j), w);
        }
    }
    printf("%lld\n", Dijkstra());
    return 0;
}