[NOI2010]海拔【对偶图优化网络流】

题目链接 P2046 [NOI2010]海拔

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  如果按照原图的方法直接跑最大流来求最小割，那么500*500个点的跑网络流，必然是TLE的，所以这里引入对偶图优化。

  首先，我们要知道一些前置知识。

平面图

  指点和边之间有一种连法，使得边与边之间没有交点。

如图就是一个合理的平面图

这就不是一个合理的平面图，因为有两条线有一个交点。

  于是，在满足平面图的情况下，我们就可以构建对偶图了。

对偶图优化网络流

  在已知图是一张平面图的情况下，对于每个密闭空间，我们可以将它看成一个点，也就是题中有N*N个点。

  现在就是要把原图中的边利用上，我们将原来的点（个点）变成了N * N个点，这仍然还没有考虑原图中的边应该怎样变化？

  我们可以把原图中的边也顺时针旋转90度，于是就变成了封闭空间指向封闭空间的形式，当然封闭空间最外面的有起点S和终点T了。

  然后根据原图中网络流的最大流的流向，我们可以确定S为对偶图的右上角，T为对偶图的左下角。

  最后，也就是怎样确定答案呢？根据定理，我们直接跑从S到T的最短路，最短路的值也就是此时最小割的值了。

  对偶图的最短路 == 原图的最大流（最小割）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 25e4 + 7;
int N, head[maxN], cnt, S, T;
inline int _ID(int x, int y) { return (x - 1) * N + y; }
struct Eddge
{
    int nex, to; ll val;
    Eddge(int a=-1, int b=0, ll c=0):nex(a), to(b), val(c) {}
}edge[maxN << 3];
inline void addEddge(int u, int v, ll w)
{
    edge[cnt] = Eddge(head[u], v, w);
    head[u] = cnt++;
}
ll dis[maxN];
struct node
{
    int id; ll val;
    node(int a=0, ll b=0):id(a), val(b) {}
    friend bool operator < (node e1,  node e2) { return e1.val > e2.val; }
};
priority_queue<node> Q;
ll Dijkstra()
{
    dis[S] = 0; Q.push(node(S, 0));
    while(!Q.empty())
    {
        node now = Q.top(); Q.pop();
        int u = now.id;
        if(dis[u] < now.val) continue;
        for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
        {
            v = edge[i].to;
            if(dis[v] > dis[u] + edge[i].val)
            {
                dis[v] = dis[u] + edge[i].val;
                Q.push(node(v, dis[v]));
            }
        }
    }
    return dis[T];
}
inline void init()
{
    S = N * N + 1; T = S + 1; cnt = 0;
    for(int i=1; i<=T; i++) { head[i] = -1; dis[i] = INF; }
}
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    init();
    for(int i=1, w; i<=N + 1; i++) //from West to East
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(i == 1) addEddge(S, j, w);
            else if(i == N + 1) addEddge(_ID(N, j), T, w);
            else addEddge(_ID(i - 1, j), _ID(i, j), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N; i++) //from North to South
    {
        for(int j=1; j<=N + 1; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(j == 1) addEddge(_ID(i, 1), T, w);
            else if(j == N + 1) addEddge(S, _ID(i, N), w);
            else addEddge(_ID(i, j), _ID(i, j - 1), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N + 1; i++) //from East to West
    {
        for(int j=1; j<=N; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(i == 1) addEddge(j, S, w);
            else if(i == N + 1) addEddge(T, _ID(N, j), w);
            else addEddge(_ID(i, j), _ID(i - 1, j), w);
        }
    }
    for(int i=1, w; i<=N; i++) //from South to North
    {
        for(int j=1; j<=N + 1; j++)
        {
            scanf("%d", &w);
            if(j == 1) addEddge(T, _ID(i, 1), w);
            else if(j == N + 1) addEddge(_ID(i, N), S, w);
            else addEddge(_ID(i, j - 1), _ID(i, j), w);
        }
    }
    printf("%lld\n", Dijkstra());
    return 0;
}