LeetCode 650. 2 Keys Keyboard（只有兩個鍵的鍵盤）（DP/質因數分解）

最初在一個記事本上只有一個字符 'A'。你每次可以對這個記事本進行兩種操作：

　　Copy All (複製全部) : 你可以複製這個記事本中的所有字符(部分的複製是不允許的)。
　　Paste (粘貼) : 你可以粘貼你上一次複製的字符。

給定一個數字 n 。你需要使用最少的操作次數，在記事本中打印出恰好 n 個 'A'。輸出能夠打印出 n 個 'A' 的最少操作次數。

示例 1:

輸入: 3
輸出: 3
解釋:
最初, 我們只有一個字符 'A'。
第 1 步, 我們使用 Copy All 操作。
第 2 步, 我們使用 Paste 操作來獲得 'AA'。
第 3 步, 我們使用 Paste 操作來獲得 'AAA'。

說明:

n 的取值範圍是 [1, 1000] 。

來源：力扣（LeetCode）
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第一反應是二維DP

dp[i][j] 表示總共i個字母 粘貼板有j個字母 的最小步驟

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        // dp[i][j] 總共i個字母 粘貼板有j個字母 的最小步驟
        int dp[n+1][n+1];
        memset(dp, -1, sizeof dp);
        dp[1][0] = 0;
        int ans = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (dp[i][j] != -1) {
                    if (dp[i][i] == -1 || dp[i][i] > dp[i][j] + 1) {
                        dp[i][i] = dp[i][j] + 1;
                    }
                    if (i + j <= n && (dp[i + j][j]  == -1 || dp[i + j][j] > dp[i][j] + 1)) {
                        dp[i + j][j]  = dp[i][j] + 1;
                    }
                }
                if (i == n && dp[i][j] != -1 && (ans == -1 || ans > dp[i][j])) {
                    ans = dp[i][j];
                }
            }
        }
        return ans;
    }
};

 

不過運行速度有點慢……

 

對於任何一個數 n，都可以先湊到該數的一個因數 x ，然後 copy all 複製 n/x-1 次，枚舉因數即可

如果 n 爲質數，就只能使用 1 來複制 n-1 次

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        int dp[n+1] = {0};
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = i;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                if (i % j == 0) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + i / j);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

複雜度和上面一樣，O(n^2) 不過可以優化一下

 

考慮到一個數x=p*q， p和q是兩個質數，那麼總共打印的次數就是先打印 p 個字母 然後複製 q 次，或者先打印 q 個字母，複製 p 次，結果都是一樣的 p+q

在 p > 1 且 q > 1 的條件下 p*q >= p+q 永遠成立，所以先打印因數個字母再複製的打印方法是最優的。

 

所以將n做質因數分解就可以了，比如 36=2*2*3*3 答案就是 dp[36]=dp[2]+dp[2]+dp[3]+dp[3]，又知道所有的質數答案都是固定的（即該數本身），也就是說 36=2+2+3+3=10

class Solution {
public:
    int minSteps(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                ans += i;
            }
        }
        return ans;
    }
};