揹包問題之0-1揹包問題

問題描述：有n個物品，第 i 個物品的重量與價值分別爲 $w[i]$ 與 $v[i]$。揹包容量爲 V，試問在每個物品最多使用一次（物品必須保持完整）的情況下，如何讓揹包裝入的物品具有更大的價值總和。現有數據如下：

w = [2,3,4,5];
v = [3,4,5,6];
V = 8;

解題思路：令 $dp[i][j]$ 表示容量爲 j 時放入前 i 個物品的最大價值。對於第 i 件物品，有兩種選擇，即放或者不放。若不放，則 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$；如放，則 $dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]$。因此有 $dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])$。

    public int knapsackProblem(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[][] dp = new int[w.length + 1][cap + 1];
        for (int i = 1; i <= w.length; i++) {
            for (int j = cap; j >= 1; j--) {
                if (w[i - 1] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[w.length][cap];
    }

時間複雜度與空間複雜度均爲 $O(nV)$。

空間優化：由以上可知，迭代過程中的第 i 行僅與前一行相關，因此可以將存儲空間可被壓縮成一維數組，即 $dp[j]=max\{dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]\}$。由於 $dp[j-w[i]]$ 表示的是上一行容量小於 j 的值，爲了避免數據被覆蓋，需從後往前進行計算。

    public int knapsackProblem(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            for (int j = cap; j >= w[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
        return dp[cap];
    }

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