揹包問題之完全揹包問題

問題描述：有n個物品，第 i 個物品的重量與價值分別爲 $w[i]$ 與 $v[i]$。揹包容量爲 V，試問在每個物品有無限個（物品必須保持完整）的情況下，如何讓揹包裝入的物品具有更大的價值總和。現有數據如下：

w = [2,3,4,5];
v = [3,4,5,6];
V = 10;

解題思路：令 $dp[i][j]$ 表示從編號 1~i 的物品中挑選任意數量的任意物品放入容量爲 j 的揹包中得到的最大價值，那麼有 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k\&k*w[i] \le j\}$。根據題意，在揹包容量不變的情況下，若增加意見物品仍然無法改變揹包內的物品，那麼最大價值仍然爲 $dp[i-1][j]$，即 $dp[i][j]= dp[i-1][j]$。因此有 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k \&k*w[i] \le j\}$。

    public int knapsackProblem(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[][] dp = new int[w.length + 1][cap + 1];
        for (int i = 1; i <= w.length; i++) {
            for (int j = cap; j > 0; j--) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                for (int k = 0; k * w[i - 1] <= j; k++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * w[i - 1]] + k * v[i - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[w.length][cap];
    }

由以上代碼可知，時間複雜度爲 $O(nV^2)$。

時間優化：

$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k\&k*w[i] \le j\}$

$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j], max\{dp[i-1][(j-w[i])-(k-1)*w[i]]+(k-1)*v[i]|0 \le (k-1)*w[i] \le j\} + v[i]\}$

$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j], max\{dp[i-1][(j-w[i])-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k \& (k+1)*w[i] \le j\}+v[i]\}$

縱觀上述表達式的第二項，有

$dp[i][j-w[i]]=max\{dp[i-1][(j-w[i])-k*w[i]]+k*v[i]|0 \le k \& (k+1)*v[i] \le j\}$

進而 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]\}$

空間優化：

$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]\}$ => $dp[j]=max\{dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]\}, j=1,2,...cap$

    public int knapsackProblem(int[] w, int[] v, int cap) {
        int[] dp = new int[cap + 1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= cap; j++) {
                if (w[i] <= j) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
                }
            }
        }
        return dp[cap];
    }

時間複雜度爲 $O(nV)$。

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