通過CGAL將一個多邊形剖分成Delaunay三角網

1. 概述

對於平面上的點集，通過Delaunay三角剖分算法能夠構建一個具有空圓特性和最大化最小角特性的三角網。空圓特性其實就是對於兩個共邊的三角形，任意一個三角形的外接圓中都不能包含有另一個三角形的頂點，這種形式的剖分產生的最小角最大。

更進一步的，可以給Delaunay三角網加入一些線段的約束條件，使得構建的Delaunay三角網能夠利用這些線段。利用這個特性，可以將一個多邊形剖分成Delaunay三角網，開源工具CGAL就正好提供了這個功能。

2. 實現

因爲要顯示三角網的效果，所以我在《使用QT繪製一個多邊形》這篇博文提供的QT界面上進行修改，正好這篇文章提供的代碼還實現了在QT中繪製多邊形的功能。

關於網格化以及三角網剖分，在CGAL中提供了非常詳盡繁複的解決方案，我這裏選擇了CGAL::refine_Delaunay_mesh_2這個接口，這個接口能夠將多邊形區域構建成一個Delaunay三角網，如果當前的存在三角形不滿足Delaunay，就會在其中補充一些點來滿足Delaunay的相關特性。主要的實現代碼如下(具體代碼見文章最後)：

#include <CGAL/Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Constrained_Delaunay_triangulation_2.h>
#include <CGAL/Delaunay_mesher_2.h>
#include <CGAL/Delaunay_mesh_face_base_2.h>
#include <CGAL/Delaunay_mesh_size_criteria_2.h>

typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel K;
typedef CGAL::Triangulation_vertex_base_2<K> Vb;
typedef CGAL::Delaunay_mesh_face_base_2<K> Fb;
typedef CGAL::Triangulation_data_structure_2<Vb, Fb> Tds;
typedef CGAL::Constrained_Delaunay_triangulation_2<K, Tds> CDT;
typedef CGAL::Delaunay_mesh_size_criteria_2<CDT> Criteria;
typedef CDT::Vertex_handle Vertex_handle;
typedef CDT::Point Point;

//三角化
void GraphicsPainter::Triangulate()
{
    //找到邊界上所有的像素點
    vector<Vector2d> ROIBoundPointList;
    CalBoundPoint(ROIBoundPointList);

    CDT cdt;
    vector<Vertex_handle> vertexList;
    cout<<ROIBoundPointList.size()<<endl;
//    for(int i = 0; i<pointList.size(); i++)
//    {
//        vertexList.push_back(cdt.insert(Point(pointList[i].x(), pointList[i].y() )));
//    }
    for(int i = 0; i<ROIBoundPointList.size(); i++)
    {
        vertexList.push_back(cdt.insert(Point(ROIBoundPointList[i].x, ROIBoundPointList[i].y )));
    }

    for(unsigned int i =0;i<vertexList.size()-1;i++)
    {
        cdt.insert_constraint(vertexList[i],vertexList[i+1]);
    }
    //cdt.insert_constraint(vertexList[vertexList.size()-1],vertexList[0]);


    std::cout << "Number of vertices: " << cdt.number_of_vertices() <<std::endl;
    std::cout << "Meshing the triangulation..." << std::endl;

    CGAL::refine_Delaunay_mesh_2(cdt, Criteria());
    std::cout << "Number of vertices: " << cdt.number_of_vertices() <<std::endl;


    CDT::Face_iterator fit;
    for (fit = cdt.faces_begin(); fit!= cdt.faces_end(); ++fit)
    {
        QVector<QPointF> triPoint;
        triPoint.push_back(QPointF(fit->vertex(0)->point().x(), fit->vertex(0)->point().y()));
        triPoint.push_back(QPointF(fit->vertex(1)->point().x(), fit->vertex(1)->point().y()));
        triPoint.push_back(QPointF(fit->vertex(2)->point().x(), fit->vertex(2)->point().y()));
        QPolygonF tri(triPoint);
        triList.push_back(tri);
    }

    bTri = true;
    update();
}

3. 結果

在QT界面上繪製一個多邊形，只用多邊形上的點，最後的三角網格效果：

通過這篇博文《矢量線的一種柵格化算法》提供的柵格化算法，可以將一個多邊形柵格化，這樣就可以得到一個柵格多邊形，通過這個算法網格化，最後的效果：

可以發現這種方式會在內部新添加一些點，來滿足Delaunay特性。並且會形成邊界密集，中間稀疏的網格效果。在一些圖形、圖像處理中，會用到這種自適應網格（Adaptive Mesh）。

4. 參考

1. Delaunay三角剖分學習筆記

實現代碼