多用戶合併 利用 並查集——求無向圖的所有連通子圖

並查集——求無向圖的所有連通子圖

求解無向圖的連通子圖，有兩種方法，一種是DFS或BFS，也就是對圖遍歷，另一種方法就是使用並查集。對圖的遍歷非常常見，而並查集的概念就不如遍歷那麼熟悉。其實如果僅是找連通子圖，用DFS對所有節點遍歷一遍就可以，而用並查集則需要遍歷兩遍。我們不考慮算法效率問題，僅僅是通過這個問題讓我們對並查集有所認識，並瞭解其原理，下面主要說一下並查集。
　　首先說一下，並查集是一種設計非常好的數據結構，也是一種檢索算法。說它是數據結構，因爲使用並查集的最終結果是生成一個森林，裏面包括一個或多個樹。說它是一種算法，是因爲通過並查集，我們很容易判斷圖中任意兩個節點是否具有連通性，同時也可以求解出所有連通子圖，也就是即將說到的內容。

問題分析
　　現在來看問題：求無向圖的所有連通子圖，可以分解成兩步，首先，將所有連通的節點，都放到一起，最終分成幾個連通分量組；然後，找出屬於同一連通分量組的節點及邊，也就是各個連通子圖。
　　第二步非常容易，假設第一步生成一個字典，裏面存放着所有節點所對應的連通分量組號，那麼再對原有的圖遍歷一遍，從字典中查出節點所屬的組並且根據組進行區分，就可以得到所有連通子圖。查字典的複雜度是O(1)，沒有什麼計算開銷。那麼問題主要變爲第一步中該如何生成那個字典。
　　
看上面這4個點，c1、c2有連接，我們需要在字典裏建立兩個值，{c1：Gc}，{c2：Gc}，Gc代表他們的連通分量組號，這樣通過分別查找c1的組號，c2的組號，所得結果一樣，我們可以判斷出c1、c2屬於同一組，具有連通性。同樣的，我們在字典中又加入了兩個值{c3：Gc}，{c4：Gc}，我們可以很easy的知道，c3和c4屬於同一個連通分量，具有連通性，雖然它們之間沒有直接的邊相連。對於b開頭的3個點，我們在字典中加入它們的組號{b1：Gb}，{b2：Gb}，{b3：Gb}。根據字典，我們知道，c3和b3不屬於同一組，它們之間不連通。
　　那麼問題來了，我們怎麼設置字典中的那個組號呢？我認爲這就是並查集的精髓所在。
實現過程
　　1、把節點編號當做組號。
　　因爲要建立字典，我們需要對整個圖掃一遍，使字典中的內容覆蓋到每一個節點。
　　上面的那個組號Gc和Gb是人爲造的，實際中我們需要按照規則設定組號。
　　這個規則的基本思想就是，選擇節點編號當做組號：
　　a) 因爲一條邊有兩個節點，選擇一條邊任意一個節點編號當做這條邊上兩個節點的組號；
　　b) 如果字典中已經有了節點的組號，那麼選擇字典中的，如果沒有，則按照上面規則選擇節點組號；
　　對於上述的圖，我們按照(c1,c2)–>(c1,c4)–>(c2,c3)–>(b1,b2)–>(b2,b3)的順序掃這個圖。按照上面的規則，假設都選擇小編號作爲組號，
　　掃到第1條邊(c1,c2)時，建立字典 {c1:c1, c2:c1}，
　　掃到第2條邊(c1,c4)時，建立字典 {c1:c1, c2:c1, c4:c1}，
　　掃到第3條邊(c2,c3)時，建立字典 {c1:c1, c2:c1, c3:c2, c4:c1}，
　　掃到第4條邊(b1,b2)時，建立字典 {c1:c1, c2:c1, c3:c2, c4:c1, b1:b1, b2:b1}，
　　掃到第5條邊(b2,b3)時，建立字典 {c1:c1, c2:c1, c3:c2, c4:c1, b1:b1, b2:b1, b3:b2}。
　　2、找組號的組號，直到找到祖先。
　　在第一步中我們初步建立了一個字典，裏面包括每一個節點。可以看到，節點c3的組號爲c2，和節點c1、c2、c4不一致。按照當前的結果，c3被認定爲與其它3個c節點都不連通。所以目前還沒有完成分組。爲了解決這個問題，當我們再次遍歷字典時，需要對每個節點得到的組號再次進行尋找組號的操作，直到得到的組號是它自己。對應的代碼就是：

def find(key):
    while parent[key] != key:  //parent就是得到的那個字典
        key = parent[key]
    return key

代碼非常簡短，對於c3來說，從字典中得到組號是c2，和c3不等，那就繼續找c2的組號，得到c1，和c2還不等，那就找c1的組號，這次得到c1，和自身相等，返回c1，也就是c3的組號。經過不斷的查找，終於c3和其它c節點擁有了相同的組號，被劃分爲了一組。
　　3、壓縮路徑
　　從第2步中看到，爲了找c3的組號，有點費勁啊，先找到c2，再找到c1，如果下次還想找c3的組號，還需要這麼折騰一次。能不能一下就給出c3的組號是c1呢？沒問題，當我們用find方法找c3的時候，得到的組號不是自己的編號，那麼我就知道c3的組號一定是它的組號c2的組號，那麼我們就把c3的組號直接設定爲c2的組號就可以了。只需要在find中改一行就OK了。

def find(key):
    while parent[key] != key:  #parent就是得到的那個字典
        parent[key] = parent[parent[key]]  #把c3的組號設定爲c2的組號
        key = parent[key]
    return key

4、合併家族
　　比如我們的圖又擴大了，在原有基礎之上有加了幾個節點。如圖：
　　
　　新加了兩條邊，(c5, c6)，(c5, c1)，按照這個順序，當掃完(c5, c6)時，會在字典中加入{c5:c5, c6:c5}兩個值。再掃到(c5, c1)時，由於c5有自己的組號，c1也有自己的組號，各自爲營，但它倆又有連接。一山不容二虎，那就選一個當老大。在這裏就是隨便選一個作爲另一個的組號。咦，這個怎麼又回到的1的問題。。。對的，其實1和4是一個問題，只是1是初始化時的選擇方式，4是遍歷到中途過程中的選擇方式，它倆合併到一起的代碼就是：

def init(key):
    if key not in parent:
        parent[key] = key

def join(key1, key2):
    p1 = find(key1)
    p2 = find(key2)
    if p1 != p2:
        parent[p2] = p1

當我們對圖的邊進行遍歷時，就先執行init，看節點是否有組號，沒有組號就賦值爲自己。再執行join，合併邊上的兩個節點爲同一個組。
　　假設選c1的組號作爲c5的組號，那麼目前的字典內容就如下圖所示：
　　{c1:c1, c2:c1, c3:c1, c4:c1, c5:c1, c6:c5, b1:b1, b2:b1, b3:b2}。
　　對應的數據結構就是：

這就是我們最終得到的結果，一個森林，裏面包括了兩棵樹，每棵樹代表連通的節點組，樹中節點的父節點代表自己的組號。
　　根據森林中的樹，我們就可以找到圖中的各個連通子圖了，當然，還需要根據這個森林中的內容，也就是我們得到的字典，再遍歷一遍圖，找到各個連通子圖的邊，不過已經完美解決了需要的問題。
　　再回過頭來看，其實代碼非常的簡短，就三個函數，完整代碼如下：

完整代碼

class UnionSet(object):
    def __init__(self):
        self.parent = {}

    def init(self, key):
        if key not in parent:
            self.parent[key] = key

    def find(self, key):
        self.init(key)
        while self.parent[key] != key:  
            self.parent[key] = self.parent[self.parent[key]] 
            key = self.parent[key]
        return key      

    def join(self, key1, key2):
        p1 = self.find(key1)
        p2 = self.find(key2)
        if p1 != p2:
            self.parent[p2] = p1

應用

除了求圖的連通子圖（連通分量）可以用到並查集外，在用Kruskal方法求圖的最小生成樹，也用到了並查集，掌握了並查集，那麼再去看Kruskal的方法，就會輕而易舉了。
　　轉載自https://blog.csdn.net/wangyibo0201/article/details/51998273?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task