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題目解法
首先考慮對於確定的 ,判斷其是否滿足條件。顯然,選出 集合的過程如下:
取出 的兩個最大值的下標,加入集合 ,彈出 的最大值,加入集合 ,重複 次。
也有這樣一個等價的過程:從後往前考慮各個 ,若在最終狀態中,仍然存在 ,使得沒有高度爲 的石柱,則選取其中最大的 , 處的石柱在最終狀態中高度爲 。
考慮對該過程進行動態規劃。
記 表示考慮了石柱 ,在最終狀態中已經存在高度 。
考慮由 向 的轉移。
、若 ,則應當填入 以內的元素。
可以發現, 以內的元素恰好被填入了 個,其中 爲已經經過的不在 中的元素個數。由於我們不能分辨各個元素被填入了幾次,可以考慮將 “每個元素各有兩個” 一限制修改爲 “每個元素各有本質不同的兩個” ,並在最後將答案除去 。此時轉移係數爲 。
、若 ,則應當填入 的元素。
若 在最終狀態中的高度不爲 ,可以考慮先不填入元素。
否則,考慮枚舉 表示填入 後,最終狀態中已經存在高度 。
新填入的後 個元素在最終狀態中的高度恰好爲 。考慮預處理係數 ,表示填入的 個位置均爲關鍵位置的方案數,乘上 的取值個數 ,轉移係數應當爲:
其中 表示已經經過的在 中的元素個數。
最後的問題在於計算 。
注意到一個填入方式合法,當且僅當對於 ,不存在超過 個 的元素。
記 表示在 個位置中填入 的數,使其合法的方案數,有
時間複雜度 。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1505;
const int P = 1e9 + 7;
const int inv2 = (P + 1) / 2;
typedef long long ll;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); }
template <typename T> void read(T &x) {
x = 0; int f = 1;
char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
x *= f;
}
bool key[MAXN]; int dp[MAXN][MAXN];
int n, binom[MAXN][MAXN], coef[MAXN][MAXN];
int power(int x, int y) {
if (y == 0) return 1;
int tmp = power(x, y / 2);
if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
void update(int &x, int y) {
x += y;
if (x >= P) x -= P;
}
int main() {
read(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x; read(x);
key[x] = true;
}
for (int i = 0; i <= n; i++) {
binom[i][0] = coef[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; j++) {
binom[i][j] = (binom[i - 1][j - 1] + binom[i - 1][j]) % P;
coef[i][j] = (coef[i - 1][j] + 2ll * coef[i - 1][j - 1] * j) % P;
if (j >= 2) update(coef[i][j], 1ll * coef[i - 1][j - 2] * j * (j - 1) % P);
}
}
dp[n * 2 + 1][0] = 1;
int cntkey = 0, cntelse = 0;
for (int i = n * 2; i >= 1; i--) {
if (key[i]) {
for (int j = 0; j <= cntkey + 1; j++) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j];
for (int k = 1; k <= j; k++)
update(dp[i][j], 1ll * dp[i + 1][j - k] * binom[cntkey - (j - k)][k - 1] % P * coef[k - 1][k - 1] % P * (k + 1) % P);
}
cntkey++;
} else {
for (int j = 0; j <= cntkey; j++)
dp[i][j] = 1ll * dp[i + 1][j] * (j - cntelse) % P;
cntelse++;
}
}
cout << 1ll * dp[1][n] * power(inv2, n) % P << endl;
return 0;
}