MATLAB Learning Days---------矩陣的秩

預備知識

如果一個向量線性獨立於另外一些向量組，那意味着這一向量不能寫成它們的線性組合，簡單例子如下：

>> u = [1;-1];
>> v = [3;-4];
>> w = [5,-6];

研究這些向量，我們可以看出：

 2u + v = w

因此w線性相關於u和v，此時w可以寫成u和v的線性組合。另一例子：

u = [2;0;0];
v = [;-1;0];
w = [0;0;7];

就構成線性獨立組，這是因爲這些向量中沒有一個可以寫成另外兩個的線性組合。
再看矩陣：

A =
     0     1     0     2
     0     2     0     4

很明顯，矩陣的第二行是第一行的兩倍。因此只有一行是獨立的，矩陣的秩爲1。

>> rank(A)
ans =
     1

再看一個例子：

B =
     1     2     3
     3     0     9
    -1     2    -3

第三列數第一列的三倍，因此，這兩列線性相關，另外兩列線性獨立，到此我們得知有兩個顯現獨立列

>> rank(B)
ans =
     2

昇華

現在我們來看一下帶有n個未知量的m個線性方程組：

Ax = b

把b連結在A上構成增廣矩陣：

[A b]

解的情況：

• 無解：rank(A)不等於rank(A b)時方程無解
• 有解：當且僅當rank(A) = rank(A b)時方程有解。

1. 如果矩陣的秩r等於方程未知數的個數，那麼方程有唯一解。

2. 如果秩r小於n,那麼方程有無數解。

接下來一個例子我們來解方程組：
假設有一個方程組
$x\,\,-\,\,2y\,\,+\,\,z\,\,=\,\,12 \\ 3x\,\,+4y+5z\,\,=\,\,20 \\ -2x\,\,+\,\,y\,\,+\,\,7z\,\,=\,\,11$
矩陣的係數是：

我們還有：
$\mathrm{b} =\,\,\left( \begin{array}{c} 12\\ 20\\ 11\\ \end{array} \right)$
因此增廣矩陣是：
$\left( A\,\,b \right) \,\,=\,\,\left( \begin{array}{c} \,\,1 -2 1 12\\ 3 4 5 20\\ -2 1 7 11\\ \end{array} \right)$
第一步在MATLAB輸入這些矩陣：

>> A = [1 -2 1;3 4 5; -2 1 7];
>> b = [12;20;11];

接着我們創建增廣矩陣：

>> C = [A b];

現在我們看一下A的秩：

>> rank(A)
ans =
     3

C的秩：

>> rank(C)
ans =
     3

由於秩相同，因此解存在，這裏有三個未知量，r = 3,所以有唯一解，我們用左除求解：

>> x = A\b
x =
    4.3958
   -2.2292
    3.1458