人工智能-高等數學之導數篇

高等數學之導數篇

線性代數的學習基本就先告一個段落了，接着學最重要的微積分，高等數學裏的重中之重，也是近代科學的發展利器，微積分主要包括包括極限、微分學、積分學及其應用，而微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。研究函數的變化規律，推導事物發展的趨勢走向是它的拿手好戲，印象裏，上學時，學習的順序是，數列，極限，函數，導數，微分，積分，當然也有很多數學家說先學積分，因爲積分直觀比較容易被理解。

1. 導數的定義

數學定義：設函數$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內有定義，當自變量$x$在$x_0$處取得增量$\Delta x$時，相應的函數取得增量$\Delta y=f(x0+\Delta x)-f(x_0)$；如果$\Delta y$與$\Delta x$之比當$\Delta x\rightarrow 0$時的極限存在，則稱函數$y=f(x)$在點$x_0$處可導，並稱這個極限爲函數$y=f(x)$在點$x_0$處的導數，記作$f^\prime(x_0)$，即
$f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
也可以記作$y^\prime \mid _{x=x_0}, \quad \frac{dy}{dx} \mid_{x=x_0},\quad\frac{df(x)}{dx} \mid_{x=x_0}$

導數的實質：導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

2. 導函數的定義

函數$y=f(x)$在點$x_0$處可導也說成$y=f(x)$在點$x_0$具有導數或導數存在。
上面是講在一個點上可導，如果函數$y=f(x)$在一個區間內每一點都可導，也就是說如果函數$y=f(x)$對每一點都有一個確定的導數值，那麼就構成了一個新的函數，這個函數就叫做原函數的導函數，記作$f^\prime(x), \quad y^\prime, \quad \frac{dy}{dx},\quad\frac{df(x)}{dx}$，導函數也簡稱導數，而$f^\prime(x_0)$是$f(x)$在$x_0$處的導數，或導數$f^\prime(x)$在$x_0$處的值。
$f^\prime(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

3. 常用的求導基本公式

• $C^\prime=0,C \in R$
• $(nx)^\prime=n,n \in R$
• $(x^n)^\prime=nx^{n-1},n \in R$
• $(\sin x)^\prime=\cos x$
• $(\cos x)^\prime=-\sin x$

例題：求$\frac{1}{x}$的導數

解：$(\frac{1}{x})^\prime=(x^{-1})^\prime=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

4. 求導基礎法則

設$u=u(x)$和$v=v(x)$都可導，則

• 加減法：$(u\pm v)^\prime=u^\prime \pm v^\prime$
• 乘法：$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$
• 數乘：$(Cv)^\prime=Cv^\prime$
• 除法：$(\frac{u}{v})^\prime =\frac{(u^\prime v-uv^\prime)}{v^2}$
• 鏈式求導：
  若$u=u(x)$在x點可導，$y=f(u)$在u點可導，則$y=f(u(x))$在x點可導，其導數爲：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$。
• 隱函數微分法：
  不容易表示爲$y=f(x)$的函數稱爲隱函數。
  例如：
  $x^2+y^2=1,y>0,求\frac{dy}{dx} ?$
  解：等式兩側同時對x求導
  $(x^2)^\prime+(y^2)^\prime = 1^\prime \\ 2x+2yy^\prime=0 \\ y^\prime=\frac{-x}{y}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
• 指數函數的導數：$(a^x)^\prime=a^xlna,a \in R$

5. 高階導數

高階導數就是導數的導數，它的意義大概就是變化率的變化率的無窮變化率。

• 二階導數：$f^{\prime\prime}$
• 三階導數：$f^{\prime\prime\prime}=(\frac{d}{dx})^3f=\frac{d^3f}{(dx)^3}=D^3f$
• 四階導數：$f^{(4)}$

6. python計算代碼

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':
    # 定義自變量x,表示對x求導
    x = sp.symbols('x', real=True)

    f1 = 2*x + 1
    derivative = sp.diff(f1, x)
    print('f1=%s' % derivative)

    f2 = x**2+4
    derivative = sp.diff(f2, x)
    print('f2=%s' % derivative)

    f3 = sp.sin(x)
    derivative = sp.diff(f3, x)
    print('f3=%s' % derivative)

    # 求高階導數
    f4 = x**10
    for n in range(1,12):
        # 計算n階導數
        D = sp.diff(f4, x, n)
        print('D%d=%s' % (n, D))

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