人工智能-高等數學之微積分篇

高等數學之微積分篇

接着上一篇《人工智能-高等數學之導數篇》，繼續學習彙總微積分的知識，微分和導數外形很相似，導致有時候傻傻的分不清楚，在查找無數資料之後我找到了一個能夠被理解的說法，導數是函數圖像在某一點處的斜率，是縱座標增量（Δy）和橫座標增量（Δx）在Δx–>0時的比值。而微分是指函數圖像在某一點處的切線在橫座標取得增量Δx以後，縱座標取得的增量，一般表示爲dy。積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。還有一種簡要的概括說法，導數描述的是函數在一點處的變化快慢的趨勢，是一個變化的速率，微分描述的是函數從一點（移動一個無窮小量）到另一點的變化幅度，是一個變化的量。

1. 微分的定義

數學定義：設函數$y=f(x)$在某區間內有定義，$x_0$及$x_0+\Delta x$在這區間內，如果增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$可以表示爲$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中A是不依賴於$\Delta x$的常數，那麼稱函數$y=f(x)$在點$x_0$是可微的，而$A\Delta x$叫做函數$y=f(x)$在點$x_0$相應於自變量增量$\Delta x$的微分，記作dy，即$dy=A\Delta x$

2. 微分系數和導函數

設$f(x)$是定義在區間$I$上的函數，如果a是區間$I$內的一點，那麼$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$是定義在區間$I$內除了a以外的x點上的函數，此時如果存在極限：
$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}，$，那麼就稱$f(x)$在點a處可微，或者稱在x=a處可微，並稱此極限爲函數$f(x)$在點a處的微分系數，記爲$f^\prime (a)$
$f^\prime (a)=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}，$
當函數$f(x)$在所屬區間內的任意點$x$處均可微時，則稱函數$f(x)$可微，或稱$f(x)$關於x可微。此時$f^\prime (x)$也是定義在區間$I$上的關於x的函數。稱$f^\prime(x)$爲函數$f(x)$的導函數，求函數$f(x)$的導函數$f^\prime (x)$，稱爲對函數$f(x)$進行微分，或函數$f(x)$關於x進行微分。
所以在數學表達上，如果對於函數$y=f(x)$，存在$dy=f^\prime (x)dx$，稱$dy$是$y$的微分或$f(x)$的微分。
萊布尼茨對導數的記法：

$f^\prime (x)= \frac{dy}{dx} \Rightarrow dy \Rightarrow f^\prime (x) dx$，

從中我們可以看出，導數是$y$的微分與$x$微分的比值，所以導數也叫做微商（兩個微分的商）

給出原始公式，如下：
$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

3. 初等函數的微分公式

導數公式	微分公式
$(nx)^\prime=n,n \in R$	$d(nx)=ndx,n \in R$
$(x^n)^\prime=nx^{n-1},n \in R$	$d(x^n)=nx^{n-1}dx,n \in R$
$(\sin x)^\prime=\cos x$	$d(\sin x)=\cos xdx$
$(\cos x)^\prime=-\sin x$	$d(\cos x)=-\sin xdx$
$(a^x)^\prime=a^x\ln a$	$d(a^x)=a^x\ln a dx$

4. 函數和差積商的微分法則

和差積商的 求導法則	和差積商的 微分法則
$(u\pm v)^\prime=u^\prime \pm v^\prime$	$d(u\pm v)=du \pm dv$
$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$	$d(uv)=duv+udv$
$(Cv)^\prime=Cv^\prime$	$d(Cv)=Cdv$
$(\frac{u}{v})^\prime =\frac{(u^\prime v-uv^\prime)}{v^2}$	$d(\frac{u}{v}) =\frac{(du v-udv)}{v^2}$

5. 不定積分與定積分

根據牛頓-萊布尼茨公式，許多函數的定積分的計算就可以簡便地通過求不定積分來進行。這裏要注意不定積分與定積分之間的關係：定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數學上有一個計算關係。一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。

5.1 不定積分

如果有一個關於x的函數G(x),g(x)是G(x)的導數，即，$G^\prime(x)=g(x)$，則式子 $G(x)=\int g(x)dx$ 稱爲g(x)dx的不定積分，其中g(x)dx是G(x)的微分，對微分的積分是原函數，所以微分和積分互爲反函數。所以求解不定積分的方法就是將導數逆推。例如：
$\int \sin x dx=？$，如果 $G(x)=- \cos x$，則 $G^\prime (x)=\sin x$，所以 $\int \sin x dx=- \cos x+C$，其中C是一個任意常數，因爲C不確定大小，它是不定的，不是一個確切的函數，所以才叫做不定積分。

5.2 定積分

數學定義：設函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點$a<x_0<x_1<x_2< \cdots<x_{n-1}<x_n=b$，把區間[a,b]分成n個小區間 $[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n]$ ，各個小區間的長度依次爲 $\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$，在每個小區間$[x_{i-1},x_i]$ 上取任意一點 $\xi(x_{i-1}\leq\xi_i\leq x_i)$，作函數值$f(\xi)$ 與小區間長度 $\Delta x_i$ 的乘積$f(\xi)\Delta x_i，(i=1,2,3,\cdots,n)$，並作出和
$S=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \tag1$
記$\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$，如果不論對[a,b]怎樣劃分，也不論在小區間 $[x_{i-1},x_i]$ 上的點 $\xi$ 怎樣選取，只要當 $\lambda \rightarrow0$ 時，和S總趨於確定的極限$I$，那麼稱這個極限$I$ 爲函數 $f(x)$ 在區間 [a,b] 上的定積分，簡稱積分，記作 $\int_a^bf(x)dx$，即

$\int_a^bf(x)dx=I=\lim_{\lambda \rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \tag2$
其中f(x)叫做被積函數，f(x)dx叫做被積表達式，x 叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b] 叫做積分區間。

6. python計算代碼

手算太累了，還是交給Python吧，它擅長這個。

import sympy as sp

if __name__ == '__main__':

    # 定義自變量x,表示對x求導
    x = sp.symbols('x', real=True)
    f1 = 2 * x + 1
    derivative = sp.diff(f1, x)
    print('f1=%s' % derivative)
    f2 = x ** 2 + 4
    derivative = sp.diff(f2, x)
    print('f2=%s' % derivative)
    f3 = sp.sin(x)
    derivative = sp.diff(f3, x)
    print('f3=%s' % derivative)
    # 求高階導數
    f4 = x ** 10
    for n in range(1, 12):
        # 計算n階導數
        D = sp.diff(f4, x, n)
        print('D%d=%s' % (n, D))

    # 定義被積函數
    fx1 = x ** 2
    fx2 = sp.cos(x)
    fx3 = 1 / (1 + x ** 2)

    # 計算不定積分
    r1 = sp.integrate(fx1, x)
    r2 = sp.integrate(fx2, x)
    r3 = sp.integrate(fx3, x)
    print('∫ x^2dx=%s' % r1)
    print('∫ cosx dx=%s' % r2)
    print('∫ 1/(1+x^2)dx=%s' % r3)

    # 求解定積分
    fx4 = sp.sqrt(4 - x**2) / 2
    r4 = sp.integrate(fx4, (x, -2, 2))
    print('∫a->bsqrt(4-x^2)/2dx=%s' % r4)

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