逆序對 歸併排序求法 分治思想

逆序對介紹

如果存在正整數 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，則<A[i], A[j]> 這個有序對稱爲 A 的一個逆序對，也稱作逆序數。

求解一個數組中逆序對個數

其實就是求下標小的大數，那麼二話不說先來暴力，暴力顯然是O(n²)，8太行

int unseq(vector<int> &nums)
{
	int cnt = 0;
	for(int i=0; i<nums.size(); i++)
		for(int j=i+1; j<nums.size(); j++)
			if(nums[i]>nums[j]) cnt++;
	return cnt;
}

分治思想：藉助歸併排序

對於數組中的逆序對個數，將數組分爲[l, mid]與[mid+1, r]區間，問題可以分解爲子問題：

• 子數組[l, mid]的逆序對個數 lcnt
• 子數組[mid+1, r]的逆序對個數 rcnt
• A[i]位於左邊，A[j]位於右邊 且 A[i] > A[j] 的 <i, j> 組成的對

問題 1，2可以遞歸地求解，那麼關鍵是如何求問題3，即橫跨左右的對

注意這裏求解問題12的時候，不單單只是求解，還對數組排序了，也就是左邊/右邊都是有序的狀態，那麼我們可以用O(n)的時間，完成求解

• 在右側子數組中，從後往前枚舉 j 下標
• 在左側子數組中，設置指針 i ，一開始 i 指向mid
• i 向左滑動，找到第一個 i 使得 A[i]<=A[j]
• 說明前面 i+1 ~ mid 下標，A[i] 都大於 A[j]
• 那麼對於 A[j] 爲右邊的逆序對，找到了 mid-i對

因爲兩邊都有序，那麼對於 j 下標，因爲A[j]是遞減的，那麼A[j+1]配對的個數，同樣可以運用到A[j]上，此外還要額外判斷A[j]是否能滿足更多逆序對

這裏利用兩邊數組的有序性，變相利用前面的結果，達到節省時間

看似兩重循環，其實 i,j 回退不超過 n/2 次，所以複雜度O(n)

用O(n)時間找打橫跨的逆序對個數，我們還要將數組歸併，方便上一層遞歸繼續查找

這裏使用【inplace_merge函數】進行歸併操作

這裏你可能會有很多問號：

排序之後對不是順序被打亂了嗎？

打亂順序（排序）之前，我們已經求得了兩邊子數組的解的個數
而且求解這一趟的橫跨的逆序對的時候，左右都排序了，但是他們相對位置不變，即左元素一定在左邊子數組，右邊同理

int unseq(vector<int> &nums, int l, int r)
{
	if(l>=r || l<0 || r>=nums.size()) return 0;
	int mid=(l+r)/2, cnt=0, i=mid;
	int lcnt = unseq(nums, l, mid);
	int rcnt = unseq(nums, mid+1, r); 
	for(int j=r; j>mid; j--)
	{
		while(i>=l && nums[j]<nums[i]) i--;
		cnt += mid-i;
	}
	inplace_merge(nums.begin()+l, nums.begin()+mid+1, nums.begin()+r+1);
	return lcnt+rcnt+cnt;
}

完整代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int unseq(vector<int> &nums, int l, int r)
{
	if(l>=r || l<0 || r>=nums.size()) return 0;
	int mid=(l+r)/2, cnt=0, i=mid;
	int lcnt = unseq(nums, l, mid);
	int rcnt = unseq(nums, mid+1, r); 
	for(int j=r; j>mid; j--)
	{
		while(i>=l && nums[j]<nums[i]) i--;
		cnt += mid-i;
	}
	inplace_merge(nums.begin()+l, nums.begin()+mid+1, nums.begin()+r+1);
	return lcnt+rcnt+cnt;
}

int unseq(vector<int> &nums)
{
	int cnt = 0;
	for(int i=0; i<nums.size(); i++)
		for(int j=i+1; j<nums.size(); j++)
			if(nums[i]>nums[j]) cnt++;
	return cnt;
}

int main()
{	
	vector<int> nums{2,7,4,3,1,8,6,5};
	cout<<unseq(nums)<<endl;
	cout<<unseq(nums, 0, nums.size()-1)<<endl;
	for(int i=0; i<nums.size(); i++) cout<<nums[i]<<" ";
	cout<<endl;
	
	return 0;
}