Ng-机器学习(Day7)

SVM最大间距回顾：

设SVM找到的决策边界函数为：f(x)=w^Tx+b(其中w就相当于Logistic回归当中的θ1、θ2…，b就是θ0)。当f(x)=0时就代表样本点在决策边界线上。如下图所示当f(x)<-1时就是负样本，f(x)>1时就是正样本,因此可见f(x)描述了一个样本点到决策边界线上的距离。
为什么SVM被称为最大间距分类器呢？
首先要搞清楚样本点到决策边界线f(x)=0的距离如何表示，上面我们已经谈到了，f(x)可以用来表示样本点到决策边界线的距离。那么要求间距也就时求min r (r=f(x)),也就是离决策边界线最近的点到决策边界线的距离。但是这样时不合理的，因为若等比的放大w和b，那么f(x)也就会被等比的放大。
假设有一个样本点x,x0为x做垂直于决策边界线的直线的交点。r为x到决策边界线的距离，w为垂直于决策边界的向量。

的

有因为我们的目标是寻找最大间距，所以问题就转化为了求max r’。有因为有约束条件y(w^Tx+b)>1(即f(x)的绝对值大于1)，所以问题就转化为了寻找最小的w。
下面就可以看到支持向量机为什么又叫最大间隔分类器了。
假设我们的决策边界线为下图下左半部分的绿色线，此时我们的p(间距)是非常小的，那么在约束条件下，我们要使得我们的θ(即w)足够的大。这就和我们的目标相冲突了。
如果我们是右边的那条边界，此时p（间距）就大多了，因此我们的θ就可以变小了，从而也就达到了我们本来的目标。这就是为什么要找最大间距。

寻找最优参数：

首先读取数据，绘制图像

import numpy as np
import scipy.io as sio
import scipy.optimize as opt
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

def loadData():
    d = sio.loadmat('E:/Data/Ng/Coursera-ML-AndrewNg-Notes-master/code/ex5-bias vs variance/ex5data1.mat')
    return map(np.ravel,[d['X'],d['y'],d['Xval'],d['yval'],d['Xtest'],d['ytest']])

if __name__=='__main__':
	X, y, Xval, yval, Xtest, ytest = loadData()
	X,Xval,Xtest = [np.insert(x.reshape(x.shape[0],1),0,values = np.ones(x.shape[0]),axis=1) for x in (X,Xval,Xtest)] #批量加人为全为1的列
	plt.figure(figsize = (10,10),dpi=70)
    plt.scatter(X,y,s=20,color = 'red')
    plt.show()

计算出最优θ

def cost(theta,X,y):
    m = X.shape[0]
    inner = X @theta - y #(12,1)
    square_sum = inner.T @inner
    cost = square_sum/(2*m)
    return cost

def regularize_cost(theta,X,y,l):
    m=X.shape[0]
    reg_term = np.power(theta[1:],2).sum()*(l/(2*m))
    return cost(theta,X,y)+reg_term

def gradient(theta,X,y):
    m=X.shape[0]
    inner = X.T @ (X @ theta - y)
    return inner/m

def regularize_gradient(theta,X,y,l=1):
    m=X.shape[0]
    theta_ = theta.copy()
    theta_[0]=0
    reg_term = theta_*(l/m)
    return reg_term + gradient(theta,X,y)

def linear_regression_np(X,y,l):
    m = X.shape[1]
    theta = np.ones(m)
    res = opt.minimize(fun=regularize_cost
                       ,x0=theta,args=(X,y,l)
                       ,method='TNC'
                       ,jac=regularize_gradient
                       ,options={'disp': True})
    return res

if __name__ == '__main__':
    theta = np.ones(X.shape[0])
    final_theta = linear_regression_np(X, y, l=0).get('x') 
    final_theta
    Y=final_theta[0]+final_theta[1]*X[:,1]
	#plt.figure(figsize=(10,10),dpi=70)
	plt.scatter(X[:,1],y,s=30,color='red')
	plt.plot(X[:,1],Y)
	plt.show()

结果如下：

可见拟合的不是很好

画出训练集和交叉验证集的代价函数曲线

training_cost = [] #初始化一个列表
cv_cost=[]
for i in range(1,X.shape[0]+1): #样本量逐个增加
    res = linear_regression_np(X[:i,:], y[:i], l=0) #获取最优θ
    
    train_cost = regularize_cost(res.x,X[:i,:],y[:i],l=0) #计算训练集代价函数
    cvcost = regularize_cost(res.x,Xval,yval,l=0) #计算交叉验证集训练函数
    training_cost.append(train_cost)
    cv_cost.append(cvcost)
    
plt.plot(np.arange(11+1),training_cost,color='blue',label='training cost')
plt.plot(np.arange(11+1),cv_cost,color='red',label='cv cost')
plt.legend(loc=1)
plt.show()

结果如下：
从下图可以看见，随着样本量的增加，交叉验证集上的代价值不断的下降，训练集的代价函数不断的上升。但是没有相交，存在着一个空隙，即欠拟合。

应对欠拟合，我们可以利用增加多项式；增加特征数；降低lambda值的方式来应对。
这里我们使用的是增加高次项。

def poly_features(x,power,as_ndarray=False):
	df = {'f{}'.format(i): np.power(x,i)
		for i range(1,power+1)}
	df = pd.DataFrame(df)
	if as_ndarray:
		return np.array(df)
	else:
		return df

def normalize(data):
	return data.apply(lambda columns: (columns - columns.mean())/columns.std())

def prepare_poly_features(*args,power):
	"""用来咱批量增加高次项
	Params:
		args:训练集/交叉验证集/测试集
		power:最高次方
	return:
		处理完毕的数据"""
	def prepare(x,power):
		df = poly_features(x,power=power)
		df = normalize(df).values
		return np.insert(df,0,np.ones(df.shape[0]),axis=1)
	return [prepare(x) for x in args]

if __name__ == '__main__':
	X_,X_test,X_val = prepare_poly_data(X,Xtest,Xval,power=8)
	X_[:3,:]

结果为：

接下来重新绘制

def plot_learning_curve(X, y, Xval, yval, l=0):
    training_cost, cv_cost = [], []
    m = X.shape[0]

    for i in range(1, m + 1):
        # regularization applies here for fitting parameters
        res = linear_regression_np(X[:i, :], y[:i], l=l)

        # remember, when you compute the cost here, you are computing
        # non-regularized cost. Regularization is used to fit parameters only
        tc = cost(res.x, X[:i, :], y[:i])
        cv = cost(res.x, Xval, yval)

        training_cost.append(tc)
        cv_cost.append(cv)

    plt.plot(np.arange(1, m + 1), training_cost, label='training cost')
    plt.plot(np.arange(1, m + 1), cv_cost, label='cv cost')
    plt.legend(loc=1)

if __name___ == '__main__':
	plot_learning_curve(X_poly, y, Xval_poly, yval, l=0)
	plt.show()

可见训练集的代价函数总为1，不够真实，那么可能是过拟合了。

尝试λ=1

plot_learning_curve(X_poly, y, Xval_poly, yval, l=1)
plt.show()

训练集的代价函数提高了一点，但是还是太低

再试试λ=100

plot_learning_curve(X_poly, y, Xval_poly, yval, l=100)
plt.show()

这下欠拟合了

找到最佳的λ：

l_candidate = [0, 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1, 3, 10] #逐个尝试
training_cost, cv_cost = [], []
for l in l_candidate:
    res = linear_regression_np(X_poly, y, l)
    
    tc = cost(res.x, X_poly, y)
    cv = cost(res.x, Xval_poly, yval)
    
    training_cost.append(tc)
    cv_cost.append(cv)

plt.plot(l_candidate, training_cost, label='training')
plt.plot(l_candidate, cv_cost, label='cross validation')
plt.legend(loc=2)

plt.xlabel('lambda')

plt.ylabel('cost')
plt.show()
l_candidate[np.argmin(cv_cost)] #找到交叉验证集当中代价函数最小的那个λ的索引

看看那个比较好

for l in l_candidate:
    theta = linear_regression_np(X_poly, y, l).x
    print('test cost(l={}) = {}'.format(l, cost(theta, Xtest_poly, ytest)))

可见λ=0.3时最小

总结：

寻找合适λ可以先试着画几个图，然后再确定值来依此遍历，然后找出使得代价函数最小的那个λ，然后再看测试集，找到测试集当中最小的λ。

参考资料：

Ng-机器学习(Day7)

SVM最大间距回顾：

寻找最优参数：

機器學習基石筆記-感知機-Day1

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樸素貝葉斯-Day2

Ng-機器學習(Day 3)

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