函数插值法之牛顿插值法 python代码实现

老规矩，原理什么的就不写了。

这里比较详细的讲了原理，在这我只关注如何代码实现。

直接贴代码和实例演示，以下代码基于python和numpy。

什么是差商表？就用一张图解释。

差商表是求近似值的前一步，那这里实现求近似值吗？

答案是：现在不。

因为求近似值还要选择节点、代入迭代公式，虽然代码可以实现，但博主觉得“选择节点、代入迭代公式”这个要用代码实现，好像特别麻烦的样子，因为涉及决策的问题，所以还不如自己对照着代入更方便一点。

如果哪天突然觉得后者更麻烦，不排除用代码实现近似值的求解。

构建差商表

首先

import numpy as np

以下便是我定义的函数：

def csb(x,f,j):
    f0=np.zeros((j+1,x.shape[0]))
    if type(f) is np.ndarray:
        f0[0]=f.copy()
    else:
        for i in range(x.shape[0]):
            f0[0,i]=f(x[i])
    for i in range(1,j+1):
        for k in range(i,j+1):
            f0[i,k]=(f0[i-1,k]-f0[i-1,k-1])/(x[k]-x[k-i])
    f1=np.vstack([x,f0])
    print('所求%d阶差商表如下所示' % j,'\n',f1.T)
    return f1.T

参数说明

“x”是上图中第一列“xk”的值组成的数组。

“f”是上图中的第二列，输入的可以是确定值，也可以是函数，后面会具体演示两者有什么区别。

“j”是最大阶数，在上图中，最大阶数是3阶，那么“j”就是3。

实例运行

拿个实例运行一下，在这个实例中“f”是确定值。

x=np.array([-1,0,1,3])
f=np.array([4,-1,2,6])
csb(x,f,3)

得出以下结果：

所求3阶差商表如下所示
[[-1. 4. 0. 0. 0. ]
[ 0. -1. -5. 0. 0. ]
[ 1. 2. 3. 4. 0. ]
[ 3. 6. 2. -0.33333333 -1.08333333]]

这个数组对照着下图看就知道每一列数字代表着什么意思。

在上个实例中，“f”是确定值。下面再运行一个实例，其中的“f”是函数。

x=np.array([-1,0,1,3])
f=lambda x:x**2
csb(x,f,3)

得出以下结果：

所求3阶差商表如下所示
[[-1. 1. 0. 0. 0.]
[ 0. 0. -1. 0. 0.]
[ 1. 1. 1. 1. 0.]
[ 3. 9. 4. 1. 0.]]

求解近似值

待补充。

补充是不可能补充的，最近是不可能补充的，等忙完这一阵吧。