時間複雜度和空間複雜度

時間複雜度和空間複雜度是我們算法效率的度量方法。

 

時間複雜度我們用大O表示法，比如O(1),O(n),O(logn),O(n²)等，那麼這個是怎麼計算出來的呢。

 

簡單來說就是看某段代碼的執行次數。

注意：

　　1.如果是常數級別的都是O(1)，這裏的常數是指的我們已經很確定這段代碼執行多少次，不存在變化了。

　　2.指數級的時候取最高階，比如n²+n，那麼是O(n²)；

　　3.常數我們通常忽略。

O(1)：

 

        int a = 1;        
        for(int i = 0 ;i < 1000;i++){
            a = a + 1;
        }

 

這段代碼的時間複雜度就是O(1)，不管他執行多少次，已經十分確定它是某一個值了

O(n)：

 

        for(int i = 0 ;i < n;i++){
            a = a + 1;            
        }

 

這段代碼n是個未知數，因此它的時間複雜度是O(n)

O(logn)：

 

    int i = 1;
    while( i <= n){
             i = i * 3;    
     }

 

這段代碼實際的執行次數，就是求3^x=n，求出x=log₃n(3爲底n的對數)，忽略掉常數3，時間複雜度表示爲O(logn)

O(n²):

 

        for(i = 0 ; i < n;i++){    
            for(int j = 0 ; j < n ;j ++){        
                a = a +1;            
            }
        }

 

        for(i = 0 ; i <= n;i++){
            for(int j = i ; j <= n ;j ++){
                a = a +1;            
            }
        }

第一段代碼很好計算直接就是O(n²)；

第二段代碼

i=n 運行1次

i=n-1 運行2次

i=n-2 運行3次

......

i=1 運行n次

明顯是個等差數列，總次數就是等差數列求和s_n=n(n+1)/2=(n²+n)/2，忽略掉常數和低階，那麼就是O(n²)

 

 

空間複雜度

其實對於空間複雜度，我們經常都會用空間去換時間，比如一個List<Student>，要根據Student的ID去list裏面取元素，這種情況下我們並不知道index，每次都需要遍歷判斷，那麼每次取元素的時間複雜度都是O(n)；我們就可以將ID作爲key，把List轉換成Map，每次從map中取就是O(1)了，但是這裏多出來了一個Map，會佔用更多內存空間。這就是用空間換時間。一般我們說的複雜度都是指的時間複雜度。

 

算法之美案例：判斷一個數是否是2的冪

算法1：

        while(n > 1){
            if (n % 2 == 0) {
                return true;
            }
            n = n / 2;
        }
        return false;

無限除以2再取模判斷是否等於0，如果最後取模2等於0，那麼說明是2的次冪。時間複雜度O(logn)

算法2：

        if (n <= 0) {
            return false;
        }
        return (n & (n-1)) == 0;

2的二進制表示：10  1的二進制：1

4的二進制表示：100  3的二進制：11

8的二進制表示：1000  7的二進制：111

利用&運算，如果n是2的次冪，那麼n&(n-1)剛好等於0，這個算法時間複雜度O（1）。

明顯算法2的性能是比算法1的性能好的。

時間複雜度優劣排行：O(1)>O(logn)>O(n)>O(nlogn)>O(n^2)>O(n^x)