很早的時候，就有了對輕重鏈剖分的概念，也略微知道一些長鏈剖分的知識，但一直沒有機會用上，所以也不算真正學習了，這次在一場比賽之中遇到了類似的題，雖然用dsu on tree的方法O(N log(N))的解決了，但是想到如果N夠大的時候，卡了這個log，那麼我們就需要線性O(N)的時間來解決這個問題了。
類比輕重鏈剖分，長鏈剖分的精髓就在於將原來以子樹size作爲評定輕重的標準，變成了子結點的最遠長度，作爲劃分輕重鏈的標準，這在一些方面上降低了求解一些問題的複雜度，但是術業有專攻，它卻加速了求解有關“深度問題”的時間，做到了線性。
將維護子樹中只與深度有關的信息做到線性時間複雜度。——這是長鏈剖分的一個主要用途
於是，它就有了一些屬於它的性質：
性質
- 所有鏈長度之和是O(N)級別的
- 任意一個點的K次祖先y所在的長（重）鏈的長度一定是大於等於K的
- 任意一個點向上跳躍長（重）鏈的次數不會超過O(sqrt(N))次
由於性質3，所以用長鏈剖分求LCA的複雜度就是
1、2兩個性質比較的好理解，性質3我們需要證明一下，
證：如果一個點從它所在的重鏈跳到其上的重鏈，那麼新跳到的重鏈的長度一定會比它原來所在的重鏈的長度要長，不然爲什麼之前那個重鏈不是新重鏈呢？所以，最壞的重鏈跳法就是1，2，3，……，
所有性質中，最重要的（或許在解決下面的問題的時候）就是性質1，這就使得我們在求解只與深度有關的信息的時候保證了複雜度。
通過舉實際的例子，我們來解釋這個“主要用途”。
給你一棵樹，定義dx,i表示x子樹內和x距離爲i的節點數，對每個x求使dx,i最大的i，如有多個輸出最小的。
首先，第一步要做的，是預處理的工作，得到“重兒子”。這個操作就比較的簡單了，衍生長度最長的就是重兒子。
int len[maxN], Wson[maxN] = {0};
void pre_dfs(int u, int fa)
{
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa) continue;
pre_dfs(v, u);
if(len[v] > len[Wson[u]]) Wson[u] = v;
}
len[u] = len[Wson[u]] + 1;
}
那麼，接下去，我們怎麼處理這個所謂的距離某個點深度爲i的點的個數，以及知道這個dx,i呢？
這裏，性質一被用上了。
所以，我們只需要開一條長度爲N的數組就可以處理這些信息了，然後給每個長鏈分配合理的數組上的空間就可以了。
所以，我開了長度爲N的tmp數組，作爲總的空間，然後呢，我們用指針來解決分配空間的問題。*f[maxN]指向每個點的空間的首地址，譬如說f[u]，就是u點對應的首地址，它的分配長度應該是len[u]，同時u必須是長鏈的鏈頭。
然後具體的分配方式，以及處理方式，我們可以看一下代碼：
int ans[maxN], tmp[maxN], *f[maxN], *id = tmp;
void dfs(int u, int fa)
{
f[u][0] = 1; ans[u] = 0;
if(Wson[u])
{
f[Wson[u]] = f[u] + 1;
dfs(Wson[u], u);
ans[u] = ans[Wson[u]] + 1;
}
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa || v == Wson[u]) continue;
f[v] = id;
id += len[v];
dfs(v, u);
for(int j=1; j<=len[v]; j++)
{
f[u][j] += f[v][j - 1];
if((j < ans[u] && f[u][j] >= f[u][ans[u]]) || (j > ans[u] && f[u][j] > f[u][ans[u]])) ans[u] = j;
}
}
if(f[u][ans[u]] == 1) ans[u] = 0;
}
完整代碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
//#include <unordered_map>
//#include <unordered_set>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define eps 1e-8
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 1e6 + 7;
int N, head[maxN], cnt;
struct Eddge
{
int nex, to;
Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}
}edge[maxN << 1];
inline void addEddge(int u, int v)
{
edge[cnt] = Eddge(head[u], v);
head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); }
int len[maxN], Wson[maxN] = {0};
void pre_dfs(int u, int fa)
{
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa) continue;
pre_dfs(v, u);
if(len[v] > len[Wson[u]]) Wson[u] = v;
}
len[u] = len[Wson[u]] + 1;
}
int ans[maxN], tmp[maxN], *f[maxN], *id = tmp;
void dfs(int u, int fa)
{
f[u][0] = 1; ans[u] = 0;
if(Wson[u])
{
f[Wson[u]] = f[u] + 1;
dfs(Wson[u], u);
ans[u] = ans[Wson[u]] + 1;
}
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(v == fa || v == Wson[u]) continue;
f[v] = id;
id += len[v];
dfs(v, u);
for(int j=1; j<=len[v]; j++)
{
f[u][j] += f[v][j - 1];
if((j < ans[u] && f[u][j] >= f[u][ans[u]]) || (j > ans[u] && f[u][j] > f[u][ans[u]])) ans[u] = j;
}
}
if(f[u][ans[u]] == 1) ans[u] = 0;
}
inline void init()
{
cnt = 0;
for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;
}
int main()
{
scanf("%d", &N);
init();
for(int i=1, u, v; i<N; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
_add(u, v);
}
pre_dfs(1, 0);
f[1] = id; id += len[1];
dfs(1, 0);
for(int i=1; i<=N; i++) printf("%d\n", ans[i]);
return 0;
}