TT 的旅行日記（兩遍dijkstra || 分層圖最短路）

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問題描述

衆所周知，TT 有一隻魔法貓。

今天他在 B 站上開啓了一次旅行直播，記錄他與魔法貓在喵星旅遊時的奇遇。 TT 從家裏出發，準備乘坐貓貓快線前往喵星機場。貓貓快線分爲經濟線和商業線兩種，它們的速度與價錢都不同。當然啦，商業線要比經濟線貴，TT 平常只能坐經濟線，但是今天 TT 的魔法貓變出了一張商業線車票，可以坐一站商業線。假設 TT 換乘的時間忽略不計，請你幫 TT 找到一條去喵星機場最快的線路，不然就要誤機了！

Input

輸入包含多組數據。每組數據第一行爲 3 個整數 N, S 和 E (2 ≤ N ≤ 500, 1 ≤ S, E ≤ 100)，即貓貓快線中的車站總數，起點和終點（即喵星機場所在站）編號。

下一行包含一個整數 M (1 ≤ M ≤ 1000)，即經濟線的路段條數。

接下來有 M 行，每行 3 個整數 X, Y, Z (1 ≤ X, Y ≤ N, 1 ≤ Z ≤ 100)，表示 TT 可以乘坐經濟線在車站 X 和車站 Y 之間往返，其中單程需要 Z 分鐘。

下一行爲商業線的路段條數 K (1 ≤ K ≤ 1000)。

接下來 K 行是商業線路段的描述，格式同經濟線。

所有路段都是雙向的，但有可能必須使用商業車票才能到達機場。保證最優解唯一。

Output

對於每組數據，輸出3行。第一行按訪問順序給出 TT 經過的各個車站（包括起點和終點），第二行是 TT 換乘商業線的車站編號（如果沒有使用商業線車票，輸出"Ticket Not Used"，不含引號），第三行是 TT 前往喵星機場花費的總時間。

本題不忽略多餘的空格和製表符，且每一組答案間要輸出一個換行

Sample input

Sample output

1 2 4
2
5

解題思路1–兩次dijkstra

這個題只要求走一條商業線，因此我們可以枚舉每一條商業線，假設邊爲 $(a,b)$ ，其中 $a,b$ 是邊的兩個端點。我們從起點跑一次最短路，記錄下 $dis1$ 數組，然後從終點跑一次最短路，記錄下 $dis2$ 數組，然後對於當前商業線 $(a,b)$ ，權值w，其經過當前商業線的最短路徑是 $min(dis1[a]+dis2[b]+w,dis1[b]+dis2[a]+w)$ 。最後比較所有商業線與不使用商業線，取最小值即可。

完整代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=100000+10;
struct node
{
    int to,w,next;
};
node edge[maxn];
int head[maxn],dis1[maxn],dis2[maxn],path1[maxn],path2[maxn];
vector<int> v;
int cnt,n,m,k,s,e,ans,min1,min2,minpath=INT_MAX;
bool visit[maxn],flag=false;

void add(int x,int to,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=to; edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dijkstra(int s1,int* dis,int* path)
{
    dis[s1]=0;

    priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > points;
    //代碼返回pair的比較結果，先按照pair的first元素升序，first元素相等時，再按照second元素升序：
    points.push(make_pair(0,s1));//第一個參數指從s到第二個參數到距離

    while(!points.empty())
    {
        int x=points.top().second;
        points.pop();
        if(!visit[x])
        {
            visit[x]=true;
            for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
            {
                int to=edge[i].to;
                if(dis[to]>dis[x]+edge[i].w)
                {
                    dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
                    points.push(make_pair(dis[to],to));
                    path[to]=x;
                }
            }
        }
    }
}
int getint()
{
    int x=0,ss=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') ss=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*ss;
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d %d",&n,&s,&e)!=EOF)
    {
        m=getint();
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        memset(dis1,0x3f,sizeof(dis1));
        memset(dis2,0x3f,sizeof(dis2));

        dijkstra(s,dis1,path1);

        memset(visit,false,sizeof(visit));

        dijkstra(e,dis2,path2);

        k=getint();
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            if(dis1[x]+dis2[y]+z<minpath){
                min1=x; min2=y; minpath=dis1[x]+dis2[y]+z; ans=x;
            }
            if(dis2[x]+dis1[y]+z<minpath){
                min1=y; min2=x; minpath=dis2[x]+dis1[y]+z; ans=y;
            }
        }

        if(!flag) flag=true;//格式控制
        else putchar('\n');

        if(dis1[e]<minpath)//不使用商業票
        {
            for (int i=e; i!=s; i=path1[i])//回溯路徑
                v.push_back(i);
            v.push_back(s);

            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\nTicket Not Used\n%d\n",v[0],dis1[e]);
        }
        else {
            for (int i=min1; i!=s; i=path1[i])
                v.push_back(i);
            v.push_back(s);
            for (int i=min2; i!=e; i=path2[i])
                v.insert(v.begin(),i);
            v.insert(v.begin(),e);
            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\n%d\n%d\n",v[0],ans,minpath);
        }

        v.clear();
        ans=0; cnt=0; minpath=INT_MAX;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(visit,false,sizeof(visit));
        memset(path1,0,sizeof(path1));
        memset(path2,0,sizeof(path2));
    }
    return 0;
}

解題思路2–分層圖最短路

第一種思路只能解決這種一條商業線的問題，當有k條商業線，我們要求到終點的過程中，使用 $0\sim k$ 條商業線，那就應該使用分層圖最短路算法。

分層圖最短路介紹見我的另一篇博客：傳送門

這個題是一個分兩層的圖，每層圖都是一個無向圖，記錄路徑可以從dijkstra中用path數組來記錄當前結點的前驅結點，最終回溯得到路徑即可。

完整代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=10000+10;
struct node
{
    int to,w,next;
};
node edge[maxn];
int head[maxn],dis[maxn],path[maxn],ans;
vector<int> v;
int cnt,n,m,k,s,e;
bool visit[maxn],flag=false;

void add(int x,int to,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=to; edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void dijkstra(int s)
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[s]=0;

    priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > points;
    //代碼返回pair的比較結果，先按照pair的first元素升序，first元素相等時，再按照second元素升序：
    points.push(make_pair(0,s));//第一個參數指從s到第二個參數到距離

    while(!points.empty())
    {
        int x=points.top().second;
        points.pop();
        if(!visit[x])
        {
            visit[x]=true;
            for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
            {
                int to=edge[i].to;
                if(dis[to]>dis[x]+edge[i].w)
                {
                    dis[to]=dis[x]+edge[i].w;
                    points.push(make_pair(dis[to],to));
                    path[to]=x;//記錄路徑
                }
            }
        }
    }
}
int getint()
{
    int x=0,ss=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') ss=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*ss;
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d %d",&n,&s,&e)!=EOF)
    {
        m=getint();
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);//第一層連接路徑
            add(x+n,y+n,z);
            add(y+n,x+n,z);//第二層連接路徑
        }
        k=getint();
        for (int i=1; i<=k; i++)
        {
            int x,y,z;
            x=getint(); y=getint(); z=getint();
            add(x,y+n,z);
            add(y,x+n,z);//第一、二層之間連接路徑
        }

        add(e,e+n,0);//沒用商業票就過去了，第一、二層終點相連

        dijkstra(s);

        for (int i=e+n; i!=s; i=path[i])//回溯路徑
            v.push_back(i);
        v.push_back(s);


        if(!flag) flag=true;//格式控制，在開頭輸出回車，第一次不用
        else putchar('\n');

        if(v[0]-n==v[1])//沒有使用商業票，最後一步是e->e+n，所以這一層要去掉
        {
            for (int i=v.size()-1; i>=2; i--)
                printf("%d ",v[i]);
            printf("%d\nTicket Not Used\n%d\n",v[1],dis[e+n]);
        }
        else{//使用了商業票，進入了下一層
            for (int i=v.size()-1; i>=1; i--)
            {
                if(v[i]>n) printf("%d ",v[i]-n);//如果遇到了>n的，說明進入了下一層，所以ans不再統計，上一次統計的ans就是從上層進入下層的入口
                else { printf("%d ",v[i]); ans=i; }
            }
            printf("%d\n%d\n%d\n",v[0]-n,v[ans],dis[e+n]);
        }

        v.clear();
        ans=0; cnt=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(visit,false,sizeof(visit));
    }
    return 0;
}

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