【線性代數的本質】向量、線性變換、張成的空間與基

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自己一直覺得線性代數沒有真的弄懂,對於線性代數的學習基本上都是靠記憶而不是理解,爲了認真學習線性代數,弄清線性代數背後的本質,特此學習,做下筆記。
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什麼是向量

線性代數中最基礎、最根源的組成部分就是向量,所以對於向量是什麼我們需要達成共識然後繼續前進。
向量,對於不同領域的人通常對於向量的理解不同,因爲在每個領域中的應用和出現的形式有所區別,一般來說有三種不同的理解:

  • 在物理學專業看來,向量是空間中帶有方向的箭頭,而決定一個向量的是它的長度和所指的方向
  • 在計算機專業看來,向量是有序的數字列表,例如在房價分析中我們只看房屋面積和價格,那麼就會有(房屋面積,價格)這樣一個向量
  • 在數學專業看來,向量可以是任何東西,只要保證兩個向量相加數字與向量相乘是有意義的即可

在這個過程中,向量加法和數字與向量相乘這兩種運算是很重要的。

我們考慮這樣一個向量,向量是一個
原點出發的箭頭,我們可以分別從物理角度和計算機角度去看待這個向量。
一個向量的座標由一對數構成,每對數字對應唯一一個向量,每個向量用唯一的一對數字表示。

向量加法的定義:
我們可以把向量看作一種運動,即朝着某個方向做一定的運動,而向量的加法就對應於兩個向量的運動疊加,如下圖。

從數字角度看,向量加法就是把對應位置的數字相加。

向量數乘:
在數字與向量做乘法的過程中,沒有方向的數字就叫做標量(Scalars),數字起到的主要作用就是縮放向量。

線性變換、張成的空間與基

基的嚴格定義:

向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集。

線性變換

我們都很熟悉座標了,我們現在用一種新的角度去看待座標:我們把每個座標看成標量,他們會放縮某個向量。
而在平面上,有兩個特殊的向量,分別爲指向正右方的(或者指向x軸正方向)的單位向量 i^,和指向正上方的單位 j^
我們此時就可以把(3,-2)= 3 * i + (-2) * j 看作是兩個經過放縮的向量之和。
記住,縮放向量並且相加這個概念。
此時其實我們把 ij 向量稱爲 xy 座標系的基向量。

如果我們選擇不同的基向量會怎麼樣?

答案是選擇任何兩個向量作爲基向量(不共線),我們可以得到平面上所有的向量。
當我們用數字描述一個向量時,它都依賴於我們當前所使用的基向量。

兩個向量的和被稱爲這兩個向量的線性組合

爲什麼叫線性組合呢?我們提供這樣一種思路:

  • 當我們讓兩個向量相加時,如果固定一個向量,讓另外一個向量任意移動,所產生向量的終點會描述出一條直線。

而如果同時變化兩個標量,我們就能得到所有的向量!

向量空間

定義:所以可以表示爲給定向量線性組合的向量的集合,被稱爲給定向量張成的空間(span)。
對不共線的任意兩個二維向量來說,他們張成的空間是整個二維平面;
而對於共線的兩個二維向量來說,他們張成的空間就是一條直線。

其實向量空間所引出的問題就是,僅僅通過向量加法和向量數乘兩種操作,你可能得到的所有向量的集合是什麼。

向量與點

當我們考慮很多個向量的時候,通常我們就用向量的終點代表一個向量,因爲起點都是原點,當我們考慮所有二維向量時,我們只需要考慮無限大的二維平面即可。

當我們考慮很少的向量的時候,我們還是可以把向量考慮成一個帶有箭頭的向量。

三維空間張成向量

當我們去考慮三維空間中張成向量的時候,問題變得有趣了。

如果我們固定其中一個向量不動,另外兩個向量自由移動,三個向量相加,我們就可以得到一個平面。

三個向量的線性組合也就是選擇三個標量,對三個向量分別進行縮放,然後把結果相加,就得到了三個向量的線性組合。

三個向量所有的線性組合組成了他們張成的空間。

當我們再加上第三個向量的時候,之前兩個向量形成的平面沿着第三個向量的方向在空間中移動,直到覆蓋了空間中所有的位置(相當於一個面沿着某個方向移動,最終會佔滿所有的位置)。

多個向量的線性相關

結合之前所說的,我們有兩種角度去理解多個向量的線性相關:

  1. 如果有多個向量,如果移除其中的某一個向量而不會影響他們張成的空間,那麼就稱這個向量和之前的向量線性相關
  2. 如果有某一個向量能夠被表示成其他向量的線性組合,那麼就稱這個向量和之前的向量線性相關,因爲這個向量已經落在其他向量張成的空間中。

另一方面,如果每個向量都爲張成空間作出了貢獻,那麼就稱它們是線性無關的。

之後會繼續學習矩陣及其運算和相關性質。

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