線性代數的本質，源視頻 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
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Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for your self.
------ Morpheus
矩陣是什麼？
矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，元素是實數的矩陣稱爲實矩陣，元素是複數的矩陣稱爲復矩陣。而行數與列數都等於n的矩陣稱爲n階矩陣或n階方陣。
在線性代數中，最容易被忽略但是非常重要的一點就是線性變換的概念以及它和矩陣的關係。
矩陣和線性變換
對於變換，變換其實就是函數的另外一種說法，它接受一個輸入，然後輸出對應的結果。
特別的，在線性代數下，我們考慮的是接受一個向量並且輸出一個向量的變換。
爲什麼要用變換呢？
因爲變換是在暗示以特定的方式來可視化這 輸入-輸出 關係，一種理解向量的函數的方式是使用運動。
例如在二維空間中，我們將一個輸入向量移動到輸出向量的位置，要理解整個變換，我們可以想象每一個輸入向量輸出到對應輸出向量的位置。
二維空間在這種變化時候，我們可以對無限網格上的所有點同時做變換，還可以保留原來座標的網格，以便追蹤起點和終點的位置。
那麼什麼是線性變換呢？變換需要滿足下面兩個條件：
- 直線在變換之後仍然是直線，不能彎曲
- 原點必須固定
滿足以上兩個條件的變換就是線性變換。
例如，當我們把一個向量進行如下的線性變換時候，其實我們只需要記錄原來的兩個基向量進行變換之後的位置，即 i 和 j 向量進行變換之後的位置，其他所有的向量都會變化。
例如我們考慮（-1，2）這樣一個向量，變換後的向量 v 的位置，是 -1 和變換後的 i 之積，加上 2 與變換之後的 j 之積，換句話說，v 向量是 i 與 j 向量的線性組合，而變換之後的向量，也是變換之後 i 和 j 的線性組合。
所以我們只要需要直到變換後的 i 和 j 向量的位置即可。
例如對於一個如下的變換，就可以這樣計算：
我們只需要四個數字就可以確定一個線性變換即可！
在這裏矩陣只是一個包含線性變換信息的組合。對於更普遍的情況，我們可以得到如下變換：
有了以上基礎，我們可以進行一下總結：
嚴格意義上說，線性變換是將向量作爲輸入和輸出的一類函數。
可以將線性變換看作對空間的擠壓伸展，它保持網格線平行且等距分佈，並且保持原點不變
關鍵在於，線性變換由它對空間的基向量的作用完全決定。
在二位空間中就是單位正交的基向量，因爲任意其他向量都能表示爲基向量的線性組合
這意味着只要記錄下 i-hat 和 j-hat 變換後的位置，就能計算出一個座標爲（x， y）變換後的座標。
習慣上，將變換後的 i-hat 和 j-hat 的座標爲做一個矩陣的列，並且將兩列分別與x和y相乘後加和的結果定義爲矩陣向量乘積。
這樣，矩陣代表一個特定的線性變換，而矩陣與向量相乘，就是將線性變換作用於那個向量
矩陣乘法與複合變換
在很多情況下，我們可能會有多個變換的組合，例如先把一個向量順時針旋轉90度，再進行 shear，這樣就會得到兩個變換。
我們如果把兩個變換分別進行，與記錄下“旋轉與剪切”的總變換得到的結果是一樣的。
此時我們就把這種捕捉到兩個變換的矩陣稱爲複合變換。
但是這個過程需要從右往左讀，這是因爲複合函數的定義就是如此，f ( g ( x ) ) 。
所以我們需要計算出最終的 i 和 j 向量去哪裏了，所以我們需要進行計算，我們先把 M1 的第一列可以看作經過變換後的 i 向量， 第二列可以看作變換後的 j 向量。
我們此時就得到了 i 向量，然後同樣的方式可以得到 j 向量，此時我們就得到了矩陣乘法的意義以及複合變換的想法。
在記憶矩陣乘法的計算公式之前，更重要的是理解矩陣乘法的意義所在，然後再進行計算。
下面將進行行列式的學習。