先放題目（應該是洛谷裏的樣例題目吧，侵刪~ ）
洛谷-P1048 採藥
這個範例emmmm 我們重新編個範例輸入，爲了方便思考，我們先直接考慮花費時間和價值相等時的情況，也就是拿了多少價值就花掉多少時間
22 5
1 1
5 5
6 6
9 9
20 20
拿這個新編造的範例舉例，問題也就是：
在時間22之內，要拿走下面的哪幾個數，才使拿走的數的總和儘量更大？
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 數 | 1 | 5 | 6 | 9 | 20 |
如果說貪心拿大的數，第一步先拿第5個數20，肉眼可以看的出來前面4個數之和爲1+5+6+9=21，顯然比20大，所以WA
如果說貪心拿小的數。。。。隨便換一下樣例就掛了（比如把5換成1）
貪心是不可能貪心了，，，動態規劃就這幾行代碼，還是來看看怎麼動態規劃吧
嘗試拆解成子問題
比如對於第5個數20，我們只可能進行兩個操作：拿，或者不拿
如果選擇拿的話，問題就變成這樣：
在時間2內，拿走下面的哪幾個數，才使拿走的數的總和儘量更大？
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 數 | 1 | 5 | 6 | 9 |
這個子問題解決後（等下會將怎麼解決這個子問題的），得出來的總和加上這一波的20，就是選擇拿的答案。
這裏子問題相比原問題有兩個改變：
- 因爲我們拿了20，也就花了20時間，時間就從原本的22變成了2
- 因爲我們的第5個數已經拿走了，所以現在只用考慮前4個數了
如果選擇不拿的話，問題就變成這樣：
在時間22內，拿走下面的哪幾個數，才使拿走的數的總和儘量更大？
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 數 | 1 | 5 | 6 | 9 |
這個子問題解決後（這個子問題跟上面的差不多，就時間不一樣，等下也會來解決掉的），得出來的答案就是選擇不拿的答案。（都不拿了肯定當然就不加20了，相應的，這個子問題的時間也沒有減20）
於是可以發現，無論這裏的20選擇拿還是不拿，問題都能變成一個關於前4個數的子問題，只是限制的時間不太一樣
最後通過解決這個子問題，得到最終選擇拿的答案（拿的子問題總和加上這波拿的20）和不拿的答案（不拿的子問題總和），比較這兩個答案誰更大，就能得到這一波該選擇拿還是不拿
我們希望通過關於前4個數的子問題來決定第5個數是拿還是不拿，但子問題中，限制的時間是由第5個數字拿不拿決定的。。。。於是喜聞樂見地套娃了
所以我們把關於前4個數的子問題變成這樣：
在時間 t (t ∈ [1, n], n = 22) 內，拿走下面的哪幾個數，才使拿走的數的總和儘量更大？
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 數 | 1 | 5 | 6 | 9 |
這裏t是變量，範圍是1到22（22是範例裏給的時間來着，無論咋樣t最多肯定只有22了，也就是全部選不拿的情況），也就是把時間爲1到22時都求一遍，這樣第5個數無論是多少，都能取到拿或者不拿的結果（比如第5個數是範例中的20，那麼對於拿的子問題，就有t=22-20=2，對於不拿的子問題，就有t=22，和上面推出來的一樣，然後無論是2還是22都在t的範圍內，也就都已經算好值等着拿了），也就是說，解出了這個前4個數的子問題的解，就必能解出前5個數的問題的解
同理的，對於前4個數的問題，也可以換成前3個數的子問題；前3個數的問題，也可以換成前2個數的子問題······最後，換成了前1個數的子問題，那就能直接算了（t 小於這個數時不夠時間必取不了，總和就是0，t 不小於這個數時就只取這個數，因爲只有一個數不取也沒別的了，總和就等於這個數）
這時候我們求出了前1個數的問題的解，就能推前2個數的問題的解······最後，我們就能推出前5個問題的解，然後AC !
下面推下具體過程
先回顧下數據：
| 編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 數 | 1 | 5 | 6 | 9 | 20 |
前1個數的問題，對於每個 t 的答案如下
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最大總和 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
第1個數是1，t>=1時，就都直接刷成了1
前2個數的問題，對於每個 t 的答案如下
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最大總和 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
第2個數是2，由前1個數的問題得到的解可以推出這份解。比如t=3時, 設f(i, j) 爲前 i 個問題中 t 爲 j 時的解，選擇拿的答案是f(1, 1)+2=1+2=3，而選擇不拿的答案爲f(1, 3)=1，比較後決定在t=3時，要選擇拿的操作，且最大總和爲3。
······
實在太多，算了算了，最後引用大佬解釋的兩個概念和判斷一個問題能否使用DP解決
【無後效性】
一旦f(n)確定，“我們如何湊出f(n)”就再也用不着了。
要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值，而f(14),f(10),f(4)是如何算出來的，對之後的問題沒有影響。
“未來與過去無關”，這就是無後效性。
（嚴格定義：如果給定某一階段的狀態，則在這一階段以後過程的發展不受這階段以前各段狀態的影響。）
【最優子結構】
回顧我們對f(n)的定義：我們記“湊出n所需的最少鈔票數量”爲f(n).
f(n)的定義就已經蘊含了“最優”。利用w=14,10,4的最優解，我們即可算出w=15的最優解。
大問題的最優解可以由小問題的最優解推出，這個性質叫做“最優子結構性質”。
引入這兩個概念之後，我們如何判斷一個問題能否使用DP解決呢？
能將大問題拆成幾個小問題，且滿足無後效性、最優子結構性質。
作者：阮行止
鏈接：https://www.zhihu.com/question/23995189/answer/613096905
最後附上遞推代碼
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(int argc, char const *argv[])
{
int t, m, times[128], values[128], bags[1024] = { 0 };
int i, j, k;
scanf("%d%d", &t, &m);
for (i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d", ×[i], &values[i]);
}
for (i = 0; i < m; i++)
{
// 這裏循環時要從後往前，每一次都要用上一輪的結果
// 如果從前往後用的時候就變成這一輪的結果了
for (j = t; j >= times[i]; j--)
{
// 這一輪的結果等於選擇不拿（bags[j]）或者選擇拿（values[i] + bags[j - times[i]]）
// 各得到的結果的最大值
bags[j] = max(bags[j], values[i] + bags[j - times[i]]);
}
}
printf("%d", bags[t]);
return 0;
}
拋磚引玉，大牛繞道~
如有錯誤，煩請指出~
參考文章