目錄
numpy.linalg模塊包含線性代數的函數。使用這個模塊，可以計算逆矩陣、求特徵值、解線性方程組以及求解行列式等線性代數所需的功能
numpy.linalg.det() 行列式
numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。
行列式在線性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對於 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。換句話說，對於矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算爲 ad-bc。 較大的方陣被認爲是 2×2 矩陣的組合。
import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]])
print (np.linalg.det(a)) # 輸出結果爲：-2.0
b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])
print (b)
print (np.linalg.det(b))
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))
輸出結果爲：
[[ 6 1 1]
[ 4 -2 5]
[ 2 8 7]]
-306.0
-306
numpy.linalg.solve() 方程的解
numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。比如求解形如 Ax = b 的線性方程組，其中 A 爲矩陣，b 爲一維或二維的數組，x 是未知變量
import numpy as np
# 創建矩陣和數組
B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])
# 調用solve函數求解線性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print (x)
# [29. 16. 3.]
# 使用dot函數檢查求得的解是否正確
print (np.dot(B , x))
# [[ 0. 8. -9.]]
numpy.linalg.inv() 逆矩陣
numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。
逆矩陣（inverse matrix）：設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱爲可逆矩陣。注：E爲單位矩陣。
注：矩陣必須是方陣且可逆，否則會拋出LinAlgError異常
import numpy as np
x = np.array([[1,2],[3,4]])
y = np.linalg.inv(x)
print (x)
print (y)
print (np.dot(x,y))
輸出結果爲：
[[1 2]
[3 4]]
[[-2. 1. ]
[ 1.5 -0.5]]
[[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
[8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
實例
import numpy as np
a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]])
print ('數組 a：')
print (a) ainv = np.linalg.inv(a)
print ('a 的逆：')
print (ainv)
print ('矩陣 b：')
b = np.array([[6],[-4],[27]])
print (b)
print ('計算：A^(-1)B：') x = np.linalg.solve(a,b)
print (x) # 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解
輸出結果爲：
數組 a：
[[ 1 1 1]
[ 0 2 5]
[ 2 5 -1]]
a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
[-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
[ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]
矩陣 b：
[[ 6]
[-4]
[27]]
計算：A^(-1)B：
[[ 5.]
[ 3.]
[-2.]]
np.linalg.eig 特徵值和特徵向量
特徵值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一個標量。特徵向量（eigenvector）是關於特徵值的向量
numpy.linalg模塊中，eigvals函數可以計算矩陣的特徵值，而eig函數可以返回一個包含特徵值和對應的特徵向量的元組
import numpy as np
# 創建一個矩陣
C = np.mat("3 -2;1 0")
# 調用eigvals函數求解特徵值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print (c0)
# [ 2. 1.]
# 使用eig函數求解特徵值和特徵向量 (該函數將返回一個元組，按列排放着特徵值和對應的特徵向量，其中第一列爲特徵值，第二列爲特徵向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(C)
print (c1)
# [ 2. 1.]
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]
# 使用dot函數驗證求得的解是否正確
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(C,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
np.linalg.svd 奇異值分解
SVD（Singular Value Decomposition，奇異值分解）是一種因子分解運算，將一個矩陣分解爲3個矩陣的乘積
numpy.linalg模塊中的svd函數可以對矩陣進行奇異值分解。該函數返回3個矩陣——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩陣，Sigma包含輸入矩陣的奇異值。
import numpy as np
# 分解矩陣
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函數分解矩陣
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
# U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("Sigma:",Sigma)
# Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
# V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣U和V，以及中間的奇異值矩陣Sigma
# 使用diag函數生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
np.linalg.pinv 廣義逆矩陣（QR分解）
使用numpy.linalg模塊中的pinv函數進行求解,
注：inv函數只接受方陣作爲輸入矩陣，而pinv函數則沒有這個限制
import numpy as np
# 創建一個矩陣
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函數計算廣義逆矩陣
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]