墨卡託投影推導

廢話

爲啥一堆人都說墨卡託投影是從圓心向圓柱面發射線, 反正我覺得不是那樣, 不然公式顯然就不對了(也可能是我馬虎), 後來去wiki查了一下, 找到了公式的推導.

公式

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$
其中$\lambda$是經度, $\phi$是緯度(即投影前的座標); $x,y$是投影后的座標; $R$是球的半徑; $\lambda_0$是y軸所在經度
大概感覺是這樣(即廢話裏說的)(但是這個不精確, 不然公式就不是這樣了):

左圖爲側視圖, 中間的球就是原來的座標系, 兩個豎線代表了一個圓柱, 是投影后的座標系. 右圖是圓柱展開後, 最終的座標系.
赤道成爲$x$軸, 並且在x軸上(經度與x座標)是成比例的(這個是標準的, 下面性質裏有); 選一條經線作爲$y$軸, 然而要注意, y座標與緯度並不是 正切 的關係. 我們後面推導的目的就是要找到一種把緯度映射到y座標的方式, 使得兩條射線映射前後的角度不變. (我猜正切並不能保證這個關係)

推導

整體思路

性質 -> 用各種方程描述性質 -> 求解

性質

1. 保角
2. $\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0})$

推導

$x$ 的座標映射已經有了(性質2), 我們現在只要推導 $y$的映射 $y(\lambda,\phi)$
(完全參照wiki)

兩個座標系中角度的表示

每個量在圖中都寫的很清楚了, 直接描述角$\alpha$,角$\beta$(的正切)就可以了:
${\displaystyle \tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},}$

性質的描述

(注意到$\phi$,$\lambda$無關(即偏導爲0) 由鏈式法則得$\frac{dy}{d\phi}=\frac{\partial y}{\partial \phi}$ x與$\lambda$ 關係類似, 不嚴謹, 不過大概這麼用吧. 後面的 $'$ 就代表對自變量的偏導)

1. 保角
   $1 = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{ y'(\phi) \cos \phi }{x'(\lambda)}$
2. x座標與經度成比例
   $x'(\lambda) = R$

求解

$y'(\phi) = R \sec \phi$
積分得到(我沒驗證, 但是都這麼寫, 應該問題不大)
$y=R\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)$

谷歌地圖應用

$R$取$1/(2\pi)$即可, 即讓$x$範圍在0到1之間. y的範圍我們也只取$[-0.5. 0.5]$這個範圍. 谷歌的瓦片座標左上角是(0,0), 每行(每列)有$2^{z}$個正方形, 做一個簡單的變換即可得到每個正方形的座標(也就是瓦片座標):
$x_{int} = [2^z x]$$y_{int} = [2^z (1-(y+0.5))]$
其中 [x] 代表四捨五入取整

具體怎麼抓, 看參考文章即可.
有一點要注意, 要設置UserAgent

參考

wiki墨卡託投影
一篇抓谷歌地圖的文章
另一篇講墨卡託投影的(第一部分很不嚴謹, 後面沒看)
轉瓦片座標