杭州學軍中學信友隊邀請賽之第二題《齊心抗疫》

昨天，我講解了關於上週日比賽的第一題，這次，我來講一講關於比賽第二題的解題思路與程序。
首先，

題目

B. 齊心抗疫

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時間限制：300ms
空間限制：512MB

題目描述

某市有n個縣，並有n-1條雙向高速公路連通這n個縣，每條高速公路的長度爲1。

受疫情影響，第i個縣裏有a[i]個患者。爲了讓疫情較輕的縣幫助疫情嚴重的縣，政府
決定選擇兩個縣x,y，x的疫情較爲不嚴重， y的疫情較爲嚴重（即a[x] <= a[i]），並
讓縣x幫助縣y 。縣x將爲縣y的每一個患者送一份醫療物資，以最短路從x到y運
輸，運送一份醫療物資通過長度爲1的高速公路需要花費1元，由政府掏錢報銷。

請問如果任意選擇兩個縣實施幫扶計劃，政府最多要花多少錢？

輸入描述

第一行，一個正整數 。
第二行， 個正整數，第 個表示 。
接下來 行，每行兩個數 ，表示縣 和縣 之間有一條高速公路。

輸出描述

一個數表示答案。

樣例輸入

8
3 1 4 1 5 9 2 6
1 2
2 3
2 4
1 5
5 6
4 8
3 7

樣例輸出

45

嘿，這輪我們先把題目全部拽出來。

限制及約定

子任務編號	$n<=$	分值
1	2	18
2	100	30
3	2000	19
4	50000	33

對於所有數據，$2<=n<=50000$，$1<=a[i]<=1000$。

題目分析

這個題目很容易理解，就是通過各方面條件讓政府花更多的錢。。。出題人一定是一個有錢的大佬。
於是，我們按照題目來看，就可以實現一種特別粗糙的算法：直接硬懟！不過經過上一道題，我猜測硬懟是不行的。

硬懟也有硬懟的方法。方法就是暴力枚舉。先枚舉從每一個點出發，通過遞歸查找需要花最多錢的路徑。此時，算法的時間複雜度應該是$n^3|n^2$。我們算一算，以$n^2$爲基礎，算一算能拿到多少分。首先$2^2$沒問題，能拿到18分。$100^2$也差不多，10000，能拿到30分。$2000^2$似乎有點勉強。$50000^2$不用說了， 拿不到分。我們只能看看在實際上測試機器能拿到多少分。

在提交之前，我們需要解決很多問題。
首先，如何存儲可以走的路呢？
我立馬想到了點陣圖，map[i][j]說明i,j之間有通路。這種方法特點是快，但缺點是需要的空間很大，二維數組2000就差不多爆炸了。

其次，遞歸中間如何書寫？
…
還有很多問題，先讓我們寫寫程序吧。
超級慢版程序：

#include<iostream>
using namespace std;
int num[50001];
int map[2001][2001];
int mmax=-9999999;
int n;int sum;

int search(int w,int last,int llast)
{
	int mmmax=num[w]>num[llast]? w:llast;
	if(mmax<num[mmmax]*sum) mmax=num[mmmax]*sum;
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(map[w][i]&&i!=last)
		{
			flag=1;
			sum++;
			search(i,w,llast);
			sum--;
		}
	}
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>num[i];
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		map[x][y]=1;
		map[y][x]=1;
	}
	int w;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
	{
		sum=0;
		w=search(i,0,i);
	}
	cout<<mmax;
	return 0;
}

來吧，我們來看看得了多少分吧！

很顯然，超時得到48分。我就說，暴力肯定不行。

接着分析題目

接着，我思考思考…ei，我們還沒有剖解這道題終究需要求什麼。

剖析

假設$f(x,y)$表示從x到y的最短路徑，列出方程式，我們要求的就是：
$max(a(x),a(y))*f(x,y)$
可以分解爲：
$max(a(x)*f(x,y),a(y)*f(x,y))$
那就很明白了，只要將f(x,y)和x最大化就OK哩；
接下來，我引入一個概念：樹的直徑
在一棵樹裏，最遠的兩個點構成的路徑就是樹的直徑。直徑的兩個端點上距離任何一個點都要遠。
我來證明下吧。

假設點A與點B是在一棵樹上的，且他們之間的線段就是樹的直徑：

在它們之間，有一個瞎參和的 點C。
接着又來一個瞎參和的 的點D。

接着問題來了！從點C到點B是最遠的還是到點D最遠？
到點B？有可能。
到點D？也有可能。來，咱們再來畫圖：
用紅筆圈出的部分顯然相同，剩下的線段比長度可以換成：誰距離A最遠。那就肯定是B了，要不然相對於點A到點B是樹上的最長路徑這條依據。
到此爲止，論證結束，無論如何，點A到點C或點B到點C是最長的路徑。

程序實現

接下來，就是令人歡喜的程序實現部分了！稍微有點長，諒解。大家慢慢看。

#include<iostream>
using namespace std;
int a[50001];
int head[200005],nxt[200005],to[200005];
int de[50001],dee[50001],deep[50001];
int tot=0;       //所在點 

void add(int u,int v)     //增加路徑 
{
    nxt[++tot]=head[u];
    to[tot]=v;
    head[u]=tot;
}

void dfs(int x,int y,int *d)
{
    d[x]=d[y]+1;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        if(to[i]!=y)
        {
            dfs(to[i],x,d);
        }
    }
}

int main()
{
    int n,u,v,root2=0,ma=0,root1=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        add(u,v);add(v,u);
    }
    dfs(1,0,de);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(de[i]>ma)
        {
            ma=de[i];
            root1=i;
        }
    }
    dfs(root1,0,dee);
    ma=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dee[i]>ma)
        {
            ma=dee[i];
            root2=i;
        }
    }
    dfs(root2,0,deep);
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        res=max(res,max(dee[i]-1,deep[i]-1)*a[i]);
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

感謝大家支持！

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