01.斐波那契數列

1.解析

第一反應動態規劃，時間複雜度必然是O(N)，現在有個辦法能把時間複雜度變爲O(logN)，我不確定這種辦法能不能用在其它動態規劃上。遞推毫無爭議，公式如下：
$F(N) = F(N-1) + F(N-2)$
　　書上表示出了一種矩陣的格式，我也不知道是怎麼推出的，只是說“二階遞推數列一定能夠用矩陣的乘法表示”（這不就表示所有的遞推都能用？DP大多數都是遞推的）。
$(F(N),F(N-1)) = (F(N-1),F(N-2)) * \left\{ \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ \end{matrix} \right\}$
　　abcd用試的就能試出來具體的值
$(F(3),F(2)) = (1,1) * \left\{ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right\}$

$(F(4),F(3)) = (1,1) * \left\{ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right\}^{2}$

$(F(N),F(N-1)) = (F(N-1),F(N-2)) * \left\{ \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right\}^{N-2}$

這就是新的遞推公式，問題也就轉換爲了矩陣快速冪問題。矩陣快速冪問題在別的章節講。

2.複雜度分析

時間複雜度就是將一個數字分割成二進制數後，二進制數的位數。因爲是二進制數，所以應該是logN。只是感覺是這樣，具體的證明沒有，我也有點迷糊。

3.代碼

寫的有點亂，我一方面想要進行參數判斷，一方面想要方便，藍瘦

牛客已證

#include <iostream>
#include <vector>


using namespace std;

///<矩陣乘法，a和b是兩個待乘的矩陣，c是返回值
bool multi_matrix(vector<vector<int> >a, vector<vector<int> >b, vector<vector<int> >&c)
{	
	if(a.empty() || b.empty() || c.empty())
		return false;
	vector<vector<int> >tmp(c.size(), vector<int>(c[0].size(), 0));
	c.assign(tmp.begin(), tmp.end());

	for(int i=0;i<(int)a.size();++i)
		for(int j=0;j<(int)b[0].size();++j)
			for(int k=0; k<(int)b.size();++k)
				c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
	return true;
}

///<矩陣快速冪乘法，m矩陣的p次冪，res是返回值，m不用引用會報段錯誤，我也不知道爲啥
bool matrix_pow(vector<vector<int> >&m, int p, vector<vector<int> >&res)
{
	if(m.empty())
		return false;

	vector<vector<int> >zero(m.size(), vector<int>(m[0].size(),0));
	res.assign(zero.begin(), zero.end());
	for(int i=0;i<(int)m.size();++i)
	{
		for(int j=0;j<(int)m[0].size();++j)	
		{
			if(i==j)
				res[i][j] = 1;
			else
				res[i][j] = 0;
		}
	}
	vector<vector<int> >tmp(m.begin(), m.end());
	while(0 != p)
	{
		if(0 != (p&1))
			multi_matrix(res,tmp,res);	
		multi_matrix(tmp,tmp,tmp);
		p>>=1;
	}
	
	return true;
}


int main(void)
{
	int a[2]={1,1};
	int b[2]={1,0};
	vector<int>c;
	c.assign(a,a+2);
	vector<int>d;
	d.assign(b,b+2);
	vector<vector<int> >e;
	e.push_back(c);
	e.push_back(d);
	vector<vector<int> >res;
	int n ;
	cin>>n;
	if(1==n || 2==n)
		cout<<1<<endl;
	else
	{
		matrix_pow(e,n-2,res);
		cout<<res[0][0]+res[1][0]<<endl;
	}
	return 0;
}