Eigen相關介紹
Eigen是一個高層次的C ++庫，有效支持線性代數，矩陣和矢量運算，數值分析及其相關的算法。
最近在用Matlab處理圖像，現在要做的是將其用C++語言進行翻譯，由於要進行大量的矩陣計算，就研究了一下可以進行矩陣計算的開源庫，詳細的介紹可以參照http://my.oschina.net/cvnote/blog/165340，我從中選擇了Eigen進行了一番學習，現在對裏面一些基礎知識做一下小結。以下內容可以看做它官方在線文檔的一個學習筆記，粗略看看還是感覺很強大的，而且由於只包含頭文件，方便跨平臺使用，打算去使用一下。詳細內容可以參照官方文檔：http://eigen.tuxfamily.org/index.php?title=Main_Page 。
Dense matrix and array manipulation
The Matrix class
創建語法：Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime， int Options, int MaxRowsAtCompileTime, int MaxColsAtCompileTime >， 其中Scalar是矩陣類型，有int、float、double、complex float、complex double等。
RowsAtCompileTime和ColsAtCompileTime是編譯時創建數組的大小。Eigen還定義了許多convenience typedefs 比如
Typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f;
Options可以定義一些矩陣的屬性，不如存儲順序是按列存儲還是按行存儲；
MaxRowsAtCompileTime 和MaxColsAtCompileTime 是規定矩陣的最大範圍，以防動態分配（下面介紹）時分配過大。
向量是一種特殊的矩陣，也有很多convenience typedef，如
Typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f;
這種定義方式得到的是列向量，數據是按列存儲，還可以定義行向量：
Typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;
矩陣大小也可以不在編譯時設置，而是動態設定，如
Matrix(double, Dynamic, Dynamic)
向量也是如此：
Matrix(int, Dynamic, 1)
定義時可以對其進行初始化：
MatrixXf a(10, 15); //定義了一個10*15的矩陣
Vector2d a(5.0, 6.0);
矩陣變量允許下標訪問，不過是採用括號，例如定義一個變量
Matri3dx m = Matrix3d::Random(); //生成一個3*3的隨機矩陣。
訪問第二行第三個元素，可以使用m(1, 2)來進行訪問。
rows(), cols(), size()函數可以用以返回矩陣的行數、列數和元素個數。
Resize()函數可以用來改變矩陣或者向量的大小，但對於行數和列數固定的矩陣或向量進行修改會導致錯誤產生。
對於編譯時未規定數組，如果在定義時兩個矩陣長度不同，也可以進行賦值操作，只不過會將被複制的矩陣size改變，如
MatrixXf a(2, 2); MatrixXf b(3, 3);
b = a;
則此時b是一個2*2的矩陣。
需要說明的是，如果聲明一個矩陣用固定大小的方式(e.g. Matrix4f)，效率比用動態動態聲明(MatrixXf a(4, 4))高很多。
Matrix and Vector Arithmetic
定義了矩陣相加、相減、相乘等操作
需要注意的是，在做矩陣計算是，用的是循環語句，所以是串行計算的方式。
Eigen還提供了一些常用的變換函數：transpose()，轉置操作：conjugata()，共軛操作；adjoint()，共軛轉置操作；需要注意的是這些是非原位操作，例如a = [1, 2;, 3, 4] 那麼a = a.transpose() 得到的a爲[1, 2, 2, 4]，這樣就產生了所粗。原位轉置操作可以使用transposeInPlace() 函數。
矩陣乘法是一個特殊的運算，爲了防止上述的錯誤，矩陣與矩陣相乘都會使用臨時變量，例如m = m* m; 在實際編譯的時候是tem = m* m; m = tem; 如果在乘法中你可以確定不會有錯誤的產生，那麼可以使用noaliasd()函數來避免產生臨時變量，例如：c.noalias() += a * b;
Eigen還提供了dot()點乘函數和cross()叉乘函數。其中dot可以針對任意兩個長度相等的向量，而叉乘只能是兩個三維向量，例如Vector3d v(1, 2, 3); Vector3d w(0, 1, 2); 那麼v.dot(w) 得到的結果是8（等價於v.adjoint() * w），v.corss(w)得到的結果是(1;-2;1)。
Eigen提供了一些基礎的算法，如sum()，求所有元素和；prod()，求所有元素之積；mean()，求元素平均值；minCoeff()，最小元素；maxCoeff()，最大元素；trace()，求跡等。下面給出一個實例：
上述例子不僅求出了最小值，也求得了最小值所在的位置，類似於Matlab中find的用法。
The Array class and coefficient-wise operations
Array也是一個模板類，可以跟Matrix進行對比，聲明一個Array對象的方式與Matrix相似：
Array<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>
參數與Matrix一致，這裏不多做介紹，詳細可看官方文檔。Array也定義了許多conventional typedef，如
Array的賦值、加法、減法也與Matrix類似，需要說明的是Array相乘，這個操作類似於Matlab中的".*"，對應元素做計算，所以兩個Array相乘，只能是大小相同的Array。
Array提供了一些操作函數，abs()，求每個元素的絕對值；sqrt()，求每個元素的算術平方根；a.min(b)，求a和b中每個位置較小的元素。
Matrix和Array可以進行互換，利用matrix中的Array()函數和Array中的Matrix()函數，下面給出實例
需要說明的是，將array表達式賦值給Matrix變量是允許的；cwiseProduct()函數允許Matrix直接進行點對點乘法，而不用轉換至Array。
Block Operations
利用block()函數，可以從Matrix中取出一個小矩陣來進行處理，使用的語法爲matrix.block(i, j, p, q); 和 matrix.block<p, q>(i, j)。其中i，j是block左上角元素位於矩陣中的位置，p、q是block的大小，如果是小塊的話，那麼採用第二種方法，在編譯時就固定p、q，速度會比第一種方法快一些。
需要特別注意的是，block利用非常靈活，原因在於它不僅僅可以是右值表達式，它也可以作爲左值對matrix進行修改。同樣Array也有block函數，如下面實例
Block函數可以從矩陣中提取一塊，特殊的如提取一整行或者一整列，如想達到如此操作，可以使用row()函數和col()函數，已達到更高效率。這兩個函數很類似與Matlab中":"操作符。
如果想在矩陣中操作角落的block，Eigen還提供了一些特殊的函數：
最後一列如果在操作大小固定的小block時，在編譯時提供size，可以達到更快的效果。同樣對於vector，也有類似的操作函數：
Advanced Initialization
簡單初始一個矩陣的方法是利用逗號表達式，初始順序是從左到右、從上到下。可以一個元素一個元素的初始矩陣，也可以一次用一個矩陣去初始大矩陣的一部分，如
同樣利用上面講的block去初始矩陣的一部分：
Eigen提供了一些函數來初始特殊的矩陣，如Zero()用以初始全領的矩陣，其size可以通過參數或者命名空間設置，如Array33f::Zero(), ArrayXf::Zero(3), ArrayXXf::Zero(3, 4)；Constant(rows, cols, value)，用以初始元素相等的矩陣；Random()，用以初始一個隨機矩陣；Identity()，用以初始一個單位陣，但這個函數只針對Matrix類型，不針對Array類型。LinSpaced(size, low, high)是一個特殊的函數，功能類似Matlab中的冒號用法，如下面實例：
Eigen也提供了一個函數來進行初始設置，如setZero(), MatrixBase::setIdentity(), DenseBase::setLinSpaced()等，如我們要生成一個矩陣[0II0][0II0]，可以有下面幾種方法：
上面介紹的例子中，一些方法如Zero(), Constant()等用以初始一個矩陣，我們可以認爲這都是生成一個臨時矩陣用以初始化，但事實是他們返回了一個所謂expression objects，而這不會引起多餘的開銷。例如我們想令一個2×32×3的矩陣行互換，即左乘一個
[0110][0110]
。
上述的finished()是必要的，因爲要獲取一個實際的matrix來進行乘法計算，而不是一個用於初始某個矩陣的臨時矩陣，它表明要在這個矩陣形成之後在用以做乘法計算。
Reductions，Visitors and Broadcasting
Reductions可以看做一個作用在matrix或者vector上的函數，返回結果是一個值，比如之前介紹的sum(), prod(), trace(), minCoeff()等，這裏再介紹一類Reductions—Norm computations。Eigen提供了範數類函數，norm()，如l2l2範數，squaredNorm(), lplp範數，lpNnorm<p>(),這裏的p可以是1或者無窮。
Reductions還有一類波爾類型，即一個矩陣可以對其中每一個元素進行大小比較。all()，如果每個元素都爲真，則爲真；any()，如果有一個元素爲真，返回真；count()，爲真元素的個數，如下面的例子所述：
在使用maxCoeff()和minCoeff()函數是，可以尋求最大元素和最小元素，但如果我們想返回其位置，則需要給定相關參數，而參數的類型我們要使用Index類型，例如：
Reductions還可以部分使用，即返回的不是一個值，而是一組值，可以看做是一種降維操作，所使用的函數爲colwise(), rowwise()。例如
Mat.colwise()理解爲分別去看矩陣的每一列，然後再作用maxCoeff()函數，即求每一列的最大值。
需要注意的是，colwise返回的是一個行向量（列方向降維），rowwise返回的是一個列向量（行方向降維）。
下面說一下Broadcasting，他與Reductions的部分使用類似，但是他作用的類型是vector，相當於把vector按照某種方式進行擴充，再與矩陣進行計算。如
Mat.colwise() += v;是核心語句，相當於[13216792]+[01010101][12693172]+[00001111]
經過上面介紹，我們來一個實例：
m.colwise() – v得到的是 [−10218447−1][−12147084−1]，再將得到的矩陣取列，再求l2l2範數的平方，即(m.colwise()-v).colwise().squaredNorm()得到的是[15053250][15053250]，最後再求這一列的最小值，並記錄位置。輸出時m.col(index)便將最小的那一列輸出。
Interfacing with Raw Buffers: the Map class
Map類型，給用戶一種選擇：在已經存在的矩陣或者向量中，不必拷貝對象，而是直接在該對象的內存上進行操作。創建語句如下：
Map<Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>>；
由此可見Map需要一個模板參數，還要確保給予一個指向該類型的指針，如
Map<MatrixXf> mf(pf, rows, cols)；
其中pf是有一個float指針。
Map還可以接受兩個參量，即Map<typename MatrixType, int MapOptions, tyepname StrideType>，MapOptions可以有Aligned和Unaligned兩個選擇；StrideType是對如何具體選擇數據的一個選擇，看下面兩個實例
上面實例解釋了在創建Map的時候，如何決定內存的存儲順序；下面的實例將重點解釋StrideType
class Eigen::Stride< _OuterStrideAtCompileTime, _InnerStrideAtCompileTime >，這是stride的聲明語法，有兩個int類型的參數：OuterStride是按行存儲矩陣每行之間的增量或者按列存儲矩陣每列之間的增量，InnerStreide是按行存儲矩陣每列之間的增量或者按列存儲矩陣每行之間的增量。具體增量可以編譯時給定，也可以運行時給定，即設置爲Dynamic。上面的例子中，MatrixXi是按列存儲，運行時stride的第一個參數是8，即每列之間相差8個位置；第二個參數是2，即每行直接相差2個位置；所以該矩陣存儲爲
⎡⎣⎢array[0]array[2]array[4]array[8]array[10]array[12]array[16]array[18]array[20]⎤⎦⎥[array[0]array[8]array[16]array[2]array[10]array[18]array[4]array[12]array[20]]
下面給一個使用Map變量的實例
需要注意的是，這裏m2，m2map和m2mapconst指向的是同一塊內存。
同樣，Map也可以改變指向的內存，利用New語句，方法如下：
這裏v改變的只是指向內存的位置，並沒有爲此新開闢內存，而且在聲明v的時候，應該已經有存在的內存區域被指向，即不會使用如下語句：
Map<Matrix3f> A(NULL);
Aliasing
混淆往往出現在賦值號左右都用同一變量的時候，如mat = mat.transpose();解決方法之一是使用eval()函數，看下面兩個實例
如果有xxxInplace()函數，用這個函數可達到最高效的效果，如transposeInPlace()
通常情況下，如果元素的表達只與該元素自己有關，那麼一般不會引起混淆，如語句：mat = (2 * mat – MatrixXf::Identity(2, 2)).array().square();
矩陣乘法是個特殊的操作，編譯器會默認爲其做避免混淆的處理，儘管這會引起額外的開銷。如果你確定不會引起混淆，可以使用noalias()函數來避免額外開銷。
總結一下：
- 對於單個元素操作，如單個元素成績或者加減操作一般不會引起混淆。
- 兩個矩陣相乘時會做避免混淆的處理，如果你能確定不產生混淆，可以使用noalias()函數來避免額外開銷。
- 其他情況下，都認爲沒有混淆存在，爲了避免混淆產生，使用eval()函數或者xxxInPlace()函數，後者效率更高。
Storage orders
Matrix 創建的矩陣默認是按列存儲，如果想修改可以在創建矩陣的時候加入參數，如Matrix<int, 3, 4, ColMajor> Acolmajor; 或者 Matrix<int, 3, 4, RowMajor> Arowmajor;
在選擇存儲順序的時候，要有如下考慮：
- 你的使用者希望你用哪種方式存儲，這可能跟其他處理庫所要求的存儲順序有關。
- 與你所處理的實際算法有關。
- Eigen庫在處理按列存儲的矩陣時會更加高效。