基本算法之概率算法

基本算法之概率算法

一.概率算法的基本思想

大致執行步驟如下：
1.將問題轉化爲相應的幾何圖形S，S的面積容易計算，問題的結果往往對應幾何圖形中的某一部分。
2.然後，向幾何圖形中隨機撒點。
3.統計幾何圖形S和S1中的點數，根據S和S1面積的關係及圖形中的點數來計算得到的結果。
4.判斷上述結果是否在需要的精度之內，如果未達到精度則執行步驟2；如果達到精度，則輸出結果。
概率算法大致分爲4種形式：
1）數值概率算法；
2）蒙特卡羅（Monte Carlo)算法；
3）拉斯維加斯（Las Vegas)算法；
4）舍伍德（Sherwood)算法；

二.典型實例

蒙特卡羅算法是一個典型的應用，用來計算圓周率π。下面就通過一個實例來分析蒙特卡羅概率算法的應用。
1.分析
使用蒙特卡羅算法計算圓周率π的思想其實很簡單，首先分析一個半徑爲1的圓，如下圖所示：

圖中的面積的計算公式如下：
S圓=πr^2
圖中陰影部分是一個圓的1/4，因此陰影面積的計算公式如下：
S陰影=S圓/4=(πr^2)/4=π/4
圖中的正方形的面積爲：
S正方形=r^2=1
按照圖示建立一個座標系。如果均勻地向正方形內撒點，那麼落入陰影部分的點數與全部的點數之比爲：
S陰影/S正方形=π/4
根據概率統計的規律，只要撒點數足夠多，那麼將得到近似的結果。通過這個原理可以計算圓周率π的近似值，這就是蒙特卡羅π的算法。
2.參考代碼

import java.util.Scanner;

public class PI {
	static double MontePI(int n) {
		double PI;
		double x,y;
		int i,sum;
		sum = 0;
		for(i=1;i<=n;i++) {
			x=Math.random();
			y=Math.random();
			if(x*x+y*y <= 1) {
				sum++;
			}
		}
		PI=4.0*sum/n;
		return PI;
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n;
		double PI;
		System.out.println("蒙特卡羅概率算法計算π：");
		System.out.println("輸入點的數量：");
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		n=input.nextInt();
		PI=MontePI(n);
		System.out.println("PI="+PI);	
	}

}

3.結果展示