基本算法之概率算法

基本算法之概率算法

一.概率算法的基本思想

大致执行步骤如下：
1.将问题转化为相应的几何图形S，S的面积容易计算，问题的结果往往对应几何图形中的某一部分。
2.然后，向几何图形中随机撒点。
3.统计几何图形S和S1中的点数，根据S和S1面积的关系及图形中的点数来计算得到的结果。
4.判断上述结果是否在需要的精度之内，如果未达到精度则执行步骤2；如果达到精度，则输出结果。
概率算法大致分为4种形式：
1）数值概率算法；
2）蒙特卡罗（Monte Carlo)算法；
3）拉斯维加斯（Las Vegas)算法；
4）舍伍德（Sherwood)算法；

二.典型实例

蒙特卡罗算法是一个典型的应用，用来计算圆周率π。下面就通过一个实例来分析蒙特卡罗概率算法的应用。
1.分析
使用蒙特卡罗算法计算圆周率π的思想其实很简单，首先分析一个半径为1的圆，如下图所示：

图中的面积的计算公式如下：
S圆=πr^2
图中阴影部分是一个圆的1/4，因此阴影面积的计算公式如下：
S阴影=S圆/4=(πr^2)/4=π/4
图中的正方形的面积为：
S正方形=r^2=1
按照图示建立一个座标系。如果均匀地向正方形内撒点，那么落入阴影部分的点数与全部的点数之比为：
S阴影/S正方形=π/4
根据概率统计的规律，只要撒点数足够多，那么将得到近似的结果。通过这个原理可以计算圆周率π的近似值，这就是蒙特卡罗π的算法。
2.参考代码

import java.util.Scanner;

public class PI {
	static double MontePI(int n) {
		double PI;
		double x,y;
		int i,sum;
		sum = 0;
		for(i=1;i<=n;i++) {
			x=Math.random();
			y=Math.random();
			if(x*x+y*y <= 1) {
				sum++;
			}
		}
		PI=4.0*sum/n;
		return PI;
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int n;
		double PI;
		System.out.println("蒙特卡罗概率算法计算π：");
		System.out.println("输入点的数量：");
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		n=input.nextInt();
		PI=MontePI(n);
		System.out.println("PI="+PI);	
	}

}

3.结果展示