Kick Start 2020 Round B - Bus Routes 详解

比赛的时候做这道题的思路跟官方分析的第二种方法一样，但是少考虑了可以取模来快速计算哪一天，导致大数据超时，好气。

下面就来看题：

题目简述

有 $N$ 个公交路线，必须按顺序乘坐，一个人在第 $D$ 天必须坐完所有路线，也可以在第 $D$ 天之前完成。用例已确保能在第 $D$ 天完成。

第 $i$ 个公交路线每 $X_i$ 天运行一次，即只能在 $X_i$，$2X_i$，$3X_i$ 等等那些天乘坐。同一天可以乘坐多次公交。

但她想尽可能晚地乘坐第一班公交。求最晚从哪一天开始乘坐公交，仍然能在第 $D$ 天完成旅行。

样例分析

N = 3
D = 10
X = [3 7 2]

有 3 条路线，需要在 10 天内完成。第一个公交每 3 天跑一次，所以可以是第 3、6、9 天乘坐第一班公交，但是第 9 天坐的话后面两趟公交就完不成，所以可以从第 6 天开始。

第 7 天刚好是第二趟公交运行周期 7 的倍数，所以第 7 天乘坐第二趟公交。

第 8 天也刚好可以乘坐第 3 趟公交，所以旅行完成。

那么最晚就可以从第 6 天开始。

解析

可以使用从后向前的方法，在 $O(n)$ 时间复杂度下解决问题。

使用 $B_i, i\in [1, N]$ 表示乘坐的是第 $i$ 趟公交。

使用 $D_i, i\in [1, N]$ 表示乘坐第 $i$ 趟公交的天数，由于最后一天及之前一定能完成，因此 $D_N$ 小于等于最大天数 $D$，且是 $X_N$ 的最大倍数。

又，为了能够在第 $D_N$ 天及时赶上最后的公交 $B_N$，那么必须要在第 $D_{N-1}$ 天乘坐第 $B_{N-1}$ 趟公交。$D_{N-1}$ 可以小于等于 $D_N$ 且为 $X_{N-1}$ 的最大倍数。

这样倒着算到 $B_1$ 也就是第一趟公交时，$D_1$ 也就是要求的最晚出发的天数。

由于 $D_i$ 必须是 $X_i$ 的倍数，因此计算出的当前的 $D_i$ 可能不是 $X_i$ 的倍数，可以直接通过计算 $D_i - D_i mod X_i$ 得到可以整除的天数。

以一个例子来解释这个分析：

N = 4 
D = 100
X = 11 10 5 50

现在从后向前，取第 100 天完成旅行，那么后面三趟公交都可以被 100 整除，那么可以在第 100 天乘坐这三趟公交。

接下来还剩第一趟公交，由于 100 不能整除 11，因此通过上面的公式来计算应该减多少天，100 mod 11 = 1，因此可以在第 99 天乘坐第一趟公交。这样就得到了答案。

代码

test_case = int(input().strip())

for t in range(1, test_case + 1):
    bus_num, day = list(map(int,input().strip().split()))
    route = list(map(int,input().strip().split()))

    bus_index = len(route) - 1

    while bus_index >= 0:                                 
        if day % route[bus_index] == 0:          # 计算是否可乘坐公交
            bus_index -= 1
        else:
            day = day - day % route[bus_index]   # 如果某天不能乘坐公交，直接将天数计算为可乘坐公交的天数
        
    print("Case #{}: {}".format(t, day))