遞 歸(一)
信息科學技術學院《程序設計與算法》
3
遞歸的基本概念
一個函數調用其自身，就是遞歸
求n!的遞歸函數
int Factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * Factorial(n - 1);
}
4
F(3)3->F(3)5->F(2)3->F(2)5->F(1)3->F(1)5-> F(0)3->F(0)4:返回1->
F(1)5:返回1*1->F(2)5:返回2*1-> F(3)5:返回3*2-> 函數執行結束
1. int Factorial(int n)
2. {
3. if (n == 0)
4. return 1;
5. return n * Factorial(n - 1);
}
遞歸和普通函數
調用一樣是通過
棧實現的
主程序 6
參數4 cout << Factorial(4)
參數3 4Factorial(3)
參數2 3Factorial(2)
參數1 2Factorial(1)
參數0 1Factorial(0) 1
1
2
6
24
例題:
漢諾塔問題
(Hanoi)
古代有一個梵塔，塔內有三個座A、B、C，A座上有64個盤子，盤子大小
不等，大的在下，小的在上（如圖）。有一個和尚想把這64個盤子從A座移
到C座，但每次只能允許移動一個盤子，並且在移動過程中，3個座上的盤子
始終保持大盤在下，小盤在上。在移動過程中可以利用B座，要求輸出移動
的步驟。
漢諾塔問題(Hanoi)
簡單的版本：
#include <iostream>
using namespace std;
void Hanoi(int n, char src,char mid,char dest)
//將src座上的n個盤子，以mid座爲中轉，移動到dest座
{
if( n == 1) { //只需移動一個盤子
cout << src << "->" << dest << endl;
//直接將盤子從src移動到dest即可
return ; //遞歸終止
}
Hanoi(n-1,src,dest,mid); //先將n-1個盤子從src移動到mid
cout << src << "->" << dest << endl;
//再將一個盤子從src移動到dest
Hanoi(n-1,mid,src,dest); //最後將n-1個盤子從mid移動到dest
return ;
}
int main()
{
int n;
cin >> n; //輸入盤子數目
Hanoi(n,'A','B','C');
return 0;
}
提交能通過的版本：
#include <iostream>
using namespace std;
void Hanoi(int n, char src,char mid,char dest,int src_n)
//將src座上的n個盤子，以mid座爲中轉，移動到dest座
//src座上最上方盤子編號是 src_n
{
if( n == 1) { //只需移動一個盤子
cout << src_n << ":" << src << "->" << dest << endl;
//直接將盤子從src移動到dest即可
return ;
}
Hanoi(n-1,src,dest,mid,src_n); //先將n-1個盤子從src移動到mid
cout << src_n + n - 1 << ":" << src << "->" << dest << endl;
//再將一個盤子從src移動到dest
Hanoi(n-1,mid,src,dest,src_n); //最後將n-1個盤子從mid移動到dest
return ;
}
int main()
{
char a ,b,c ;
int n;
cin >> n >> a >> b >> c; //輸入盤子數目
Hanoi(n,a,b,c,1);
return 0;
}
漢諾塔問題手工解法(三個盤子）
遞歸的作用
- 替代多重循環
- 解決本來就是用遞歸形式定義的問題
- 將問題分解爲規模更小的子問題進行求解
…
15
N皇后問題
用遞歸替代多重循環
n皇后問題：輸入整數n, 要求n個國際象棋的皇后，擺在
nn的棋盤上，互相不能攻擊，輸出全部方案。
17
用遞歸替代多重循環
n皇后問題：輸入整數n, 要求n個國際象棋的皇后，擺在
nn的棋盤上，互相不能攻擊，輸出全部方案。
八皇后問題：八重循環。n皇后，n重循環？
18
用遞歸替代多重循環
n皇后問題：輸入整數n, 要求n個國際象棋的皇后，擺在
n*n的棋盤上，互相不能攻擊，輸出全部方案。
八皇后問題：八重循環。n皇后，n重循環？
遞歸解決！
19
N皇后問題
輸入一個正整數N，則程序輸出N皇后問題的全部擺法。
輸出結果裏的每一行都代表一種擺法。行裏的第i個數字如
果是n，就代表第i行的皇后應該放在第n列。
皇后的行、列編號都是從1開始算。
樣例輸入：
4
樣例輸出:
2 4 1 3
3 1 4 2 20
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int N;
int queenPos[100];
//用來存放算好的皇后位置。最左上角是(0,0)
void NQueen( int k);
int main()
{
cin >> N;
NQueen(0); //從第0行開始擺皇后
return 0;
}
21
void NQueen( int k) { //在0~k-1行皇后已經擺好的情況下，擺第k行及其後的皇后
int i;
if( k == N ) { // N 個皇后已經擺好
for( i = 0; i < N;i ++ )
cout << queenPos[i] + 1 << " ";
cout << endl;
return ;
}
for( i = 0;i < N;i ++ ) { //逐嘗試第k個皇后的位置
int j;
for( j = 0; j < k; j ++ ) {
//和已經擺好的 k 個皇后的位置比較，看是否衝突
if( queenPos[j] == i ||
abs(queenPos[j] - i) == abs(k-j)) {
break; //衝突，則試下一個位置
}
} 22
if( j == k ) { //當前選的位置 i 不衝突
queenPos[k] = i; //將第k個皇后擺放在位置 i
NQueen(k+1);
}
} //for( i = 0;i < N;i ++ )
}
23
逆波蘭表達式
用遞歸解決遞歸形式的問題
例題：逆波蘭表達式
逆波蘭表達式是一種把運算符前置的算術表達式(其實一般教科書上稱這種表
達式爲波蘭表達式） ，例如普通的表達式2 + 3的逆波蘭表示法爲+ 2 3。逆波蘭
表達式的優點是運算符之間不必有優先級關係，也不必用括號改變運算次序，例如
(2 + 3) * 4的逆波蘭表示法爲* + 2 3 4。本題求解逆波蘭表達式的值，其中運算符
包括+ - * /四個。
輸入
輸入爲一行，其中運算符和運算數之間都用空格分隔，運算數是浮點
數
輸出
輸出爲一行，表達式的值。
25
用遞歸解決遞歸形式的問題
樣例輸入
-
- 11.0 12.0 + 24.0 35.0
樣例輸出
1357.000000
提示：(11.0+12.0)*(24.0+35.0)
26
用遞歸解決遞歸形式的問題
本題中“逆波蘭表達式”的定義：
- 11.0 12.0 + 24.0 35.0
- 一個數是一個逆波蘭表達式，值爲該數
- “運算符 逆波蘭表達式 逆波蘭表達式” 是逆波蘭表達
式 ，值爲兩個逆波蘭表達式的值運算的結果
一般教科書將本題中的“逆波蘭表達式”稱爲“波蘭表達式”，而將運
算符後置的表達式成爲“逆波蘭表達式”
27
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
double exp() {
//讀入一個逆波蘭表達式，並計算其值
char s[20];
cin >> s;
switch(s[0]) {
case '+': return exp()+exp();
case '-': return exp()-exp();
case '*': return exp()*exp();
case '/': return exp()/exp();
default: return atof(s);
break;
}
}
28
int main()
{
printf("%lf",exp());
return 0;
}