北京大学C语言学习第11天

递 归(一)
信息科学技术学院《程序设计与算法》
3
递归的基本概念
 一个函数调用其自身，就是递归
 求n!的递归函数

int Factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * Factorial(n - 1);
}
4
F(3)3->F(3)5->F(2)3->F(2)5->F(1)3->F(1)5-> F(0)3->F(0)4:返回1->
F(1)5:返回1*1->F(2)5:返回2*1-> F(3)5:返回3*2-> 函数执行结束
1. int Factorial(int n)
2. {
3. if (n == 0)
4. return 1;
5. return n * Factorial(n - 1);
}

递归和普通函数
调用一样是通过
栈实现的
主程序 6
参数4 cout << Factorial(4)
参数3 4Factorial(3)
参数2 3Factorial(2)
参数1 2Factorial(1)
参数0 1Factorial(0) 1
1
2
6
24
例题:
汉诺塔问题
(Hanoi)

古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小
不等，大的在下，小的在上（如图）。有一个和尚想把这64个盘子从A座移
到C座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子
始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求输出移动
的步骤。
汉诺塔问题(Hanoi)
简单的版本：

#include <iostream> 
using namespace std; 
void Hanoi(int n, char src,char mid,char dest) 
//将src座上的n个盘子，以mid座为中转，移动到dest座
{ 
if( n == 1) { //只需移动一个盘子
cout << src << "->" << dest << endl; 
//直接将盘子从src移动到dest即可
return ; //递归终止
} 
Hanoi(n-1,src,dest,mid); //先将n-1个盘子从src移动到mid 
cout << src << "->" << dest << endl; 
//再将一个盘子从src移动到dest 
Hanoi(n-1,mid,src,dest); //最后将n-1个盘子从mid移动到dest 
return ; 
}
int main() 
{ 
int n; 
cin >> n; //输入盘子数目
Hanoi(n,'A','B','C'); 
return 0; 
} 

提交能通过的版本：

#include <iostream> 
using namespace std; 
void Hanoi(int n, char src,char mid,char dest,int src_n) 
//将src座上的n个盘子，以mid座为中转，移动到dest座
//src座上最上方盘子编号是 src_n 
{ 
if( n == 1) { //只需移动一个盘子
cout << src_n << ":" << src << "->" << dest << endl; 
//直接将盘子从src移动到dest即可
return ; 
} 
Hanoi(n-1,src,dest,mid,src_n); //先将n-1个盘子从src移动到mid 
cout << src_n + n - 1 << ":" << src << "->" << dest << endl; 
//再将一个盘子从src移动到dest 
Hanoi(n-1,mid,src,dest,src_n); //最后将n-1个盘子从mid移动到dest 
return ; 
}
int main() 
{ 
char a ,b,c ;
int n; 
cin >> n >> a >> b >> c; //输入盘子数目
Hanoi(n,a,b,c,1); 
return 0; 
} 

汉诺塔问题手工解法(三个盘子）
递归的作用

1. 替代多重循环
2. 解决本来就是用递归形式定义的问题
3. 将问题分解为规模更小的子问题进行求解
   …
   15
   N皇后问题
   用递归替代多重循环
   n皇后问题：输入整数n, 要求n个国际象棋的皇后，摆在
   nn的棋盘上，互相不能攻击，输出全部方案。
   17
   用递归替代多重循环
   n皇后问题：输入整数n, 要求n个国际象棋的皇后，摆在
   nn的棋盘上，互相不能攻击，输出全部方案。
   八皇后问题：八重循环。n皇后，n重循环？
   18
   用递归替代多重循环
   n皇后问题：输入整数n, 要求n个国际象棋的皇后，摆在
   n*n的棋盘上，互相不能攻击，输出全部方案。
   八皇后问题：八重循环。n皇后，n重循环？
   递归解决！
   19
   N皇后问题
   输入一个正整数N，则程序输出N皇后问题的全部摆法。
   输出结果里的每一行都代表一种摆法。行里的第i个数字如
   果是n，就代表第i行的皇后应该放在第n列。
   皇后的行、列编号都是从1开始算。
   样例输入：
   4
   样例输出:
   2 4 1 3
   3 1 4 2 20

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int N;
int queenPos[100]; 
//用来存放算好的皇后位置。最左上角是(0,0)
void NQueen( int k);
int main()
{
cin >> N;
NQueen(0); //从第0行开始摆皇后
return 0;
}
21
void NQueen( int k) { //在0~k-1行皇后已经摆好的情况下，摆第k行及其后的皇后
int i;
if( k == N ) { // N 个皇后已经摆好
for( i = 0; i < N;i ++ )
cout << queenPos[i] + 1 << " ";
cout << endl;
return ;
}
for( i = 0;i < N;i ++ ) { //逐尝试第k个皇后的位置
int j;
for( j = 0; j < k; j ++ ) { 
//和已经摆好的 k 个皇后的位置比较，看是否冲突
if( queenPos[j] == i || 
abs(queenPos[j] - i) == abs(k-j)) {
break; //冲突，则试下一个位置
}
} 22
if( j == k ) { //当前选的位置 i 不冲突
queenPos[k] = i; //将第k个皇后摆放在位置 i
NQueen(k+1);
}
} //for( i = 0;i < N;i ++ ) 
}

23
逆波兰表达式
用递归解决递归形式的问题
例题：逆波兰表达式
逆波兰表达式是一种把运算符前置的算术表达式(其实一般教科书上称这种表
达式为波兰表达式） ，例如普通的表达式2 + 3的逆波兰表示法为+ 2 3。逆波兰
表达式的优点是运算符之间不必有优先级关系，也不必用括号改变运算次序，例如
(2 + 3) * 4的逆波兰表示法为* + 2 3 4。本题求解逆波兰表达式的值，其中运算符
包括+ - * /四个。
输入
输入为一行，其中运算符和运算数之间都用空格分隔，运算数是浮点
数
输出
输出为一行，表达式的值。
25
用递归解决递归形式的问题
样例输入

• • 11.0 12.0 + 24.0 35.0
    样例输出
    1357.000000
    提示：(11.0+12.0)*(24.0+35.0)
    26
    用递归解决递归形式的问题
    本题中“逆波兰表达式”的定义：

1. 一个数是一个逆波兰表达式，值为该数
2. “运算符 逆波兰表达式 逆波兰表达式” 是逆波兰表达
   式 ，值为两个逆波兰表达式的值运算的结果
   一般教科书将本题中的“逆波兰表达式”称为“波兰表达式”，而将运
   算符后置的表达式成为“逆波兰表达式”
   27

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
double exp() {
//读入一个逆波兰表达式，并计算其值
char s[20]; 
cin >> s;
switch(s[0]) {
case '+': return exp()+exp();
case '-': return exp()-exp();
case '*': return exp()*exp();
case '/': return exp()/exp();
default: return atof(s);
break;
}
}
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int main()
{
printf("%lf",exp());
return 0;
}